向量在中学数学解题中的应用

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1、向量在中学数学解题中的应用摘要:向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能容数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。向量是“载体”，既具有独特的丰富内涵，又是一种重要的数学工具。它与代数、函数和几何都有联系，运用向量知识解题一方面可收到化繁为简、化难为易的效果，另一方面能降低思维层次，避免较复杂的空间想象和繁琐的图形问题等优点。本文首先对向量的来源及引入进行系统的归纳，然后着重探讨向量在代数、三角、平面几何、平面解析几何、函数和立体几何解题中的应用。关键词:向量;中学数学;解题;应用一．引言随

2、着人类科技的发展进步，促进了新型知识体系的构建和形成，旧的传统教育模式在新的教育理念的冲击下，使其必须进行一些重大改革，以适应高度发展起来的新型知识体系。在此大环境下，我国新一轮的教材改革正在全国范围内展开。作为具有几何形式和代数形式的向量，进入了高中数学，然而高中的教学注重的是向量的理论知识的掌握以及解决空间几何问题，对向量在其它方面的应用很少，因此，本文利用向量来解决几何、函数、代数等问题，以此来说明用向量解题的优越性。二．向量的发展史向量最早来源于物理，大约公元前350年前，古希腊著名学者亚力士多德就知道了力可以表示

3、成向量。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。由于复数的几何表示的出现，使得向量进入数学并得到发展。首次用平面坐标上的点表示a+bi是威塞尔，他利用复数的几何运算来定义向量的运算，开始用向量表示平面坐标上的点，并把向量用于研究几何问题和三角问题。人们渐渐的接受复数，开始用复数来表示和研究平面中的向量，向量开始进入了数学。[1]三．中学引入向量的时代需要随着科学技术的迅速发展，冲击着传统数学课程与教学模式，引起了世界范围内的数学课程改革。为构建面向21世纪基础教育新课程体系，我国在江西、山西两省和天津市首次使用试验教

4、材。向量内容也首次进入中学数学，向量由于具有代数和几何的双重身份使得其成为高中数学课程的核心内容之一。向量进入中学数学是必要的，这是由于向量不仅为中学数学向高等数学过渡奠定了基础，而且向量是使中学几何迅速发展的有力工具。[2]向量进入中学也是可行的，由于学生已经有初步的平面坐标几何的基础，教师也有丰富的几何教学经验，使得向量学习变得更容易接受。因此，向量进入中学是时代的需要。四．向量在高中数学的价值向量由于兼有代数与几何两种形式，使得它不仅具有代数的抽象和几何的直观,而且可以简化运算降低思维难度,正逐渐成为高考的热点和解题

5、利器。从发展的眼光来看，由于向量与其他数学知识和学科有着密切的联系,比如,向量与几何结合等,所以在向量的教与学中应把握向量的这一特点,适当为后续学习和解决问题做好充分准备。[3]高中阶段向量的学习分了两部分，在高一阶段学习平面向量的概念及加、减、数乘、数量积等运算，并将它们应用于证明和解答一些简单的平面几何中的定理或证明。在高二阶段，主要是深入讨论平面向量和空间向量的几何运算、坐标运算以及相应的运算性质。在高中数学学习向量不仅有助于发展学生运算能力，而且有助于学生掌握处理数学问题的一种方法，体会数形结合的思想。因此，向量在

6、高中课程中有着广泛的实际应用价值。五．向量在高中数学解题中的应用1平面向量在平面几何问题解题中的应用向量在平面几何的应用主要是利用向量共线、数量积来解决垂直问题、夹角问题、相等问题以及三点共线、三线共点，用向量解决平面几何问题可以使问题解决起来更方便。1.1垂直问题[4]例1、如图1，求证三条高交于一点（三角形高线定理）分析：这是中学里大家都非常熟悉的三角形高线定理，这点称为三角形的垂心。解决本题须充分借助于两个向量垂直的条件。证明：设为内一点，令当，有也就是（1）+（2）得即所以6可得,即P为三条高线的交点。1.2夹角问

7、题例2、已知，且。求与的夹角。分析：由公式，且，只需求出，而已知，从而，可求出。解：，，，亦即，将代入上式，有=又，即与的夹角为。用向量法解决平面几何，有很多优点，因此以后对于这类题，优先考虑用向量法解决。2，平面向量在函数、等式与不等式、方程问题解决中的应用证明等式及不等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果那些式子具有向量代数某些特征时，可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力[5]。用向量证明等式或不等式或用向量求函数的最值的依据常

8、有以下几个结论：（1）由（其中是两向量的夹角）可推出<1>(当同向时取等号）<2>（当平行时取等号）（2），当同向时右边不等式取等号，当反向时左边不等式取等号。（3），当反向时右边不等式取等号，当同向且时左边不等式取等号2.1向量在等式问题解决中的应用例3、已知求证：分析：由可联想到向量的模，由可联想到