极限收敛准则（共篇）

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1、极限收敛准则（共3篇）以下是网友分享的关于极限收敛准则的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。篇1§2数列极限§2.1数列极限的定义§2.2收敛数列的性质§2.3极限存在准则§2.1数列极限的定义p引例.刘徽割圆术求半径为r的圆面积S.作圆内接正n31边形，其面积nr则当n无限增大时,无限逼近圆面积S.极限思想：用已知逼近未知,用无限近似逼近精确.数学语言：An®S(n®¥)e:epsilon"e>0,$正整数N,当n>N时,总有An-S

2、般项).例1.ì1ü:ínýî2þ1,1,1,L,1,L2482n{n}:21,4,9,L,n2,L研究数列的无限变化趋势：an®?(n®¥31)要使只要3465liman=1n®¥对"e>0（无论多小）,要使an-11,取N³1,则当n>N时,总有an-10,$正整数N,当n>N时,总有an-a0,anÎU(a,e)(n>N)a2a-eaN+1a

3、aN+312(a+e)a1例2.设q<1,证明等比数列q,q,q,L,q,Lnlimq=0(

4、q

5、<1)的极限为0.n®¥23n分析:an-0lne.亦即n>lnq只要即"e>0(e<1),欲使证:若q=0,显然有lim0=0.n®¥nlne取N=[],"e>0,则当n>N时,有q-0

6、q

7、<1)n®¥例3.证明:limna=1,a>1为常数.n®¥分析:欲使证:"e>0,取N>logn®31¥1,则当n>N时,有a(1+e)则limna=1,a>1.研究数列的无限变化趋势：an®?(n®¥)收敛ì1ü:ínýî2þn{2}:

8、1,1,1,L,1,L2482n2,2,32,42,L,n2,L1=0,limn2=1.n+(-1)n-1limlim=1，n®¥nn®¥2n®¥n发{n}:21,4,9,L,n,L2散定理改变数列的有限项,不改变数列的收敛性与极限.证:31不妨设{an}改变前k项{an}:a1，a2，L,ak,ak+1，L,an，L{bn}:b1,b2,K,bk,ak+1,L,an,L{bn}(1)设liman=a,"e>0,$N1>0,当n>N1时,n®¥an-aN时,bn-a=an-a

9、}发散,若{bn}收敛,由(1){an}收敛，矛盾.{bn}发散.定理得证.(n+1-n)=0.（P32.2(3)）例4.证明:limn®¥分析:

10、n+1-n-0

11、=n+1-n1=<1<1n+1+n2nn欲使

12、n+1-n-0

13、12en证:"e>0,取N>12,则当n>N时,31有e

14、n+1-n-0

15、<10,$正整数N,当n>N时,总有an-aN(e)u直接法u适当放大法n1=0(k>0)limun®¥knlimqn=0(q<

16、1)n®¥a=0(a>0)(P19.例9)limun®¥n!limnn®¥a=1(a>131)limnn®¥n=1(P19.例10)nlim例5.证明:n®¥n=1.（P.19例10）分析:设

17、nn-1

18、=nn-1=hnÞn=(1+hn)nn(n-1)2n(n-1)2nn=1+nhn+hn+L+hn>1+hnÞhn2<2n22欲使

19、nn-1

20、22ne二项式公式（其中n为正整数）>22,则当n>N时,有证:"e>0,取Ne

21、nn-1

22、=hn<2

23、的唯一性数列极限的四则运算法则性质1收敛数列的极限是唯一的.证:用反证法.假设及且a<31b.ab取因liman=a,$N1,当n>N1时,n®¥因liman=b,$N2,当n>N2时,n®¥a+bN时,2n2-b-aN时,an-a<1,取M=max{a1,a2,L,aN,1+

24、a

25、}£an-a+a<1+aan£M(n=1,2,L).由此

26、证明收敛数列必有界.则有推论若数列{an}无界，则数列{an}发散.性质2反过来