数列极限收敛准则

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第四讲数列极限收敛准则、无穷小量、极限运算第二章数列的极限与常数项级数本章学习要求：第二章数列的极限与常数项级数第二节数列极限收敛准则第三节数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用1.单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.一、数列极限收敛准则通常说成：单调有界的数列必有极限.证由中学的牛顿二项式展开公式例1类似地,有又等比数列求和放大不等式每个括号小于1.综上所述,数列{xn}是单调增加且

2、有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为e,即e称为欧拉常数.欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。欧拉成

3、就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的17年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17

4、项时两人发现在第50位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。欧拉创用a，b，c表示三角形的三条边，用A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用表示求和符号(1755)；提倡用表示圆周率（1736）；1727年用e表示自然对数的底；还用y表示差分等等。十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的《无穷分析引论》。2.数列极限的夹逼定理设数列{xn},{yn},{zn}满足下列关系:(2)则

5、(1)ynxnzn,nZ+(或从某一项开始);想想：如何证明夹逼定理?解由于例2想得通吧？解例3夹逼定理例4解例5解夹逼定理请自己做!有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列.定理左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”.(区间套定理)定理3.柯西收敛准则满足此条件的数列,称为“柯西列”.柯西准则可写为:证由柯西收敛准则可知,该数列是发散的.例6证由柯西收敛准则可知,该数列是收敛的.例7柯西A.L.Cauchy(1789－1857)业绩永存的数学大师柯西1789年

6、8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。1805－1810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。由于身体欠佳，接受拉格

7、朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义的ε方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或ε－δ定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。他首先

8、利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了200年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影