高等数学竞赛辅导基础练习1-极限与连续解答

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1、高等数学竞赛辅导基础练习一极限与连续一、填空1.设则解：(本题为简单极限计算),结果依次为3,1/7,3,1/7,不存在.2.设在x=0处连续,则a=_________.解:(本题考查函数连续的定义,罗比达法则、等价无穷小及积分上限函数求导)3.要使函数在区间(-¥,+¥)上连续,则a=_________.解:(本题考查函数连续的定义,罗比达法则、等价无穷小)(对cosx的处理方式还可以采用其他形式:或直接用对数恒等式处理.)4.设函数在x=1处连续,则a=____,b=_________.解:(本题考查函数连续的定义,

2、找出a,b满足的条件)由题意得a=2再由得b=-3.5.已知则=____________.9解:本题考查常见等价无穷小的使用与连续的定义,因此6.若x®0时,x-sinx·cosx·cos2x与cxk是等价无穷小,则c=_________.解:本题考查等价无穷小的定义与常见等价无穷小.由于是k=3,c=8/3.(还可以用泰勒公式处理)7.解:本题考查00形式的未定式的计算.8.解:本题考查利用定积分定义求极限.原式==9.设有无穷间断点x=e,可去间断点x=1,则a=____,b=_________.解:本题考查函数间断

3、点的定义.由题意,分别就a=1,b=e或a=e,b=1讨论.若a=1,b=e则由验证成功;若a=e,b=1,则此时x=e,x=1都是无穷间断点.10.若则常数c=_________.解:本题考查重要极限的逆应用.由得c=-ln2.11.9解:本题考查等价无穷小的应用,在0/0型未定式极限中,先考虑使用等价无穷小.12.设,则当a=_____,b=_______时,=f(1),=f(-1).解:本题考查数列极限与函数的连续性.先确定f(x)的表达式.得于是a=0,b=1.13.解:本题考查重要极限与无穷大的比较.原式=14

4、.解:本题考查重要极限的使用.原式=15.解:本题考查重要极限.二、计算1.求解:本题若使用罗比达法则,则需要利用函数极限与数列极限的关系.或利用重要极限处理.92.求解:本题考查含有幂指函数的极限,是一类容易出错的题目.原式=3.求解:本题考查含有幂指函数的极限.注意利用等价无穷小.原式=4.求解:本题考查罗比达法则与等价无穷小的使用.原式==0还可以用泰勒公式处理.5.计算解:本题考查定积分的定义原式=(定积分的几何意义).6.求解:本题考查利用定积分定义求极限.9原式=7.设求解:对于连续乘积的形式,往往取对数转换

5、为连续相加.因此于是.8.设函数f(x)在x0附近有连续导数,{an}、{bn}为趋于零的正数数列,求极限解:本题不可使用导数定义,用(拉格朗日中值定理).9.求解:本题极限中出现了指数函数ex,此类题目往往需要讨论左右极限.也可以用倒代换(u=1/t)讨论趋于无穷时的极限.10.求.解:本题特别要注意分母的形式设a=1994,则9原式=三、解答与证明1.设函数f(x)在(0,+¥)上连续,对任意正数x有f(x2)=f(x),且f(3)=5,求f(x).解:此题关键在于处理两个已知条件的关系.而x>0时,,因此f(x)º

6、f(1)=1.2.设x1=1,(1)判断数列{xn}是否有极限?(2)若有极限,求解:此类题设的问题,一般采用单调有界定理进行处理.首先说明{xn}有界,上式说明xn+1-xn与xn-xn-1同号,根据x1与x2的关系,可以得到{xn}单调增加,因此{xn}的极限存在,设则得解得3.设x0>0,(1)判断数列{xn}是否有极限?(2)若有极限,求解:因此{xn}有界.又9,……,因此xn+1-xn与x1-x0同号,故当x1>x0时,{xn}单调递增;当x1

7、则解得4.设x1=1,x2=2,n=1,2,…,求解:令yn=lnxn,则从而于是因此即故5.a,b,c取何值时,成立.解:本题属极限类综合性题目,注意极限的存在性与积分的性质.首先,可得b=0,否则原极限为无穷大(分子>0).得a=1,于是6.设求解:本题对三角函数的要求较高,利用三角函数的关系寻求Sn的递推公式.9利用利用数学归纳法得因此7.设函数f(x)在点x=0的某邻域内具有二阶导数,且求f(0),f¢(0),f²(0)及解:本题综合了重要极限、导数定义与罗比达法则的使用.由得于是这样得f(0)=0,f¢(0)=

8、0.根据重要极限因此又,因此f²(0)=4.所以另外:题目还可以用泰勒公式处理.8.设函数f(x)有二阶连续导数,且求解:做法与上题类似.9.设函数f(x)满足f(1)=1,且当x³1时,有证明存在且解:此题证明中用到了函数的单调有界定理与反常积分的敛散性.由得f(x)在[1,+¥)上单调增加.9根据牛顿-莱布尼兹公