024正弦型函数y=asin(ωx+φ)的图象及应用(复习设计)(师)

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1、专题024:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(复习设计)(师)考点要求:1.考查正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.2.结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用.3.考查y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种变换途径.4.本讲复习时,重点掌握正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象的“五点”作图法,图象的三种变换方法,以及利用三角函数的性质解决有关问题.  知识结构:1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示xωx+φ0π2π

2、y=Asin(ωx+φ)0A0-A02.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A叫做振幅,T=叫做周期,f=叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.4.图象的对称性函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下:(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z)成轴对称图形.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0

3、)(其中ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.5.一种方法在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=,k=,ω由周期T确定,即由=T求出,φ由特殊点确定.6.一个区别由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ-13-)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是

4、φ

5、个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.7.两个注意作正弦型函数y=Asin(ωx+

6、φ)的图象时应注意:(1)首先要确定函数的定义域;(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.基础自测1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为( A ).A.2,,-B.2,,-C.2,,-D.2,,-2.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(  ).A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=解析 由题图象知T=2(4-1)=6⇒ω=,由图象过点(1,2)且A=2,可

7、得sin=1,又

8、φ

9、<,得φ=.答案 C3.函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式应为(  ).A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx解析 由图象的平移得g(x)=cos=-sinx.答案 A4.设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(  ).A.B.C.D.3解析 y=sin+2向右平移个单位后得到y1=sin+2=sin+2,又y与y1的图象重合,则-ω=2kπ(k∈Z).-13-∴ω=-k.又ω>0,k

10、∈Z,∴当k=-1时,ω取最小值为,故选C.答案 C5.将函数的周期扩大到原来的2倍,再将函数图象左移,得到图象对应解析式是()6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=________.解析 由题意设函数周期为T,则=π-=,故T=π.∴ω==.答案 例题选讲:1.作函数y=Asin(ωx+φ)的图象【例1】►设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.分析:(1)由已知条件可求ω,φ;(2)采用

11、“五点法”作图,应注意定义域[0,π].解 (1)周期T==π,∴ω=2,∵f=cos=cos=-sinφ=,∵-<φ<0,∴φ=-.-13-(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:2x--0πππx0ππππf(x)10-10图象如图:小结:(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω来确定平移单位.2.求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式例2:(2011·江苏)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(

12、A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是________.分析:由最高、最低点确定A,由周期确定ω,然后由图象过的特殊点确定φ.解析 由图可知:A=,=-=,所以T=2kπ+π,∴φ=2kπ+,令k=0,ω==2,又函数图象经过点,所以2×+φ=π,则φ=,故函数的解析式为f(x)=si

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