二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)

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1、二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）．、；、；、；、；2、设，又记则（）．、；、；、；

2、、；3、设为锐角，，则的大小顺序为（）．、；、；、；、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）.、；、；、；、.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为().、；、；、；、.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（）．、、；、；、.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数满足：，则.8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上

3、的动点，则的最大值为．9、计算.10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列满足：；令；求．14、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形．15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2007年9月23日上午（8∶30-11∶

4、00）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）、；、；、；、；答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，故选．2、设，又记则（）、；、

5、；、；、；答案：；解：，，据此，，，因为型，故选.3、设为锐角，，则的大小顺序为（）、；、；、；、；答案：；解：，，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）.、；、；、；、.答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为().、；、；、；、.答案：；解：设底面正方形边长为，

6、棱锥的高为，侧面三角形的高为，则，，则，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（）．、、；、；、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；从而．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数满足：，则.答案：；解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；．8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为．答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则，故．（当或时取等号）9、计算.答案：.解：．10、过直线：

7、上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为.答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，点坐标为，据得，，椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是.答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面