全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案).doc

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1、2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题　一、选择题（每小题分,共分）、若函数的值域为，则实数的取值范围是（）.、；、；、；、．、设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（　　）.、；、；、；、.、四面体的六条棱长分别为，且知，则.　、　；、　；、　；　、．、若对所有实数，均有，则（）.、；　　　、；　　、；　　、．、设，是的小数部分，则当时，的值（）．　、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数．、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.必为合数；（乙）.必为

2、两个平方数的和.你的判断是（）A.甲对乙错；B.甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对.二、填空题（每小题分，共分）、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为.、设，则函数的最小值为.、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则．、.、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则.、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为．三、解答题：、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于

3、，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心．、（分）设为非负实数，满足，证明：．、（分）对于元集合，若元集，满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）．试确定集共有多少个“等和划分”．2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答　一、选择题（每小题分,共分）、若函数的值域为，则实数的取值范围是（）.、；、；、；、．答案：．解：欲使的值域为，当使真数可取到一切正数，故或者；或者且，解得、设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（　　）.、；、；、；、.答：．解：将代入椭圆方程并整理得，

4、，因直线和椭圆有公共点，则判别式，利用，化简得，所以．即．、四面体的六条棱长分别为，且知，则.　、　；、　；、　；　、．答案：.解：四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，，，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面体可作出，例如取.故选、若对所有实数，均有，则（）.、；　　　、；　　、；　　、．答：.解：记，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意．、设，是的小数部分，则当时，的值

5、（）．　、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数．答：．解：令，则，是方程的两根，则，所以当时，，令，则当时，，故所有为偶数，，，因，所以为的小数部分，即，奇数．、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和.你的判断是（）A.甲对乙错；B.甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对.答案:解：设，为正整数；则…，由此知，为正整数，且，因为若，则，即，则，记，得不为平方数，矛盾！所以，故由得，为合数；又因为，故选.（例如是上述之一

6、）.二、填空题（每小题分，共分）、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为.答案：．解：设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，设其两根为，则，即，所以直线的方程为，即、设，则函数的最小值为.答案：.解：如图，取为数轴原点，，再作垂线，使，在数轴上取点，使，则，当共线时，值最小，此时.、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则．答案：．解：设面交于，则因，故在上，且，，于是，，，在三角形中，由余弦定理得、.答案：．解：，所以．、数列满足：，且对每

7、个，是方程的两根，则.答：．解：对每个，……，……，将写作，因此是一个公比为的等比数列，故，即，；于是；．、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为．答案：.解：首先，我们可以取元集，中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自小到大按每三数一段，共分为段：从中任取个数，必有两数取自同一段，则或，注意与同奇偶，于是．因此的最大值为.三、解答题：、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的

8、内心与旁心．证：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由，所以∽，得，且，故∽，而，注意，，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，，所以平分；同理得平分，即是的内心，是的旁心．证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知，，所以，于是四点共圆，所以，又因，因此点在上，即为与的交点．设与交于另一点，而由，，可知，分别为的中点，所以，．因此，点分别为的内心与旁心．、（分）设为非负实数，满足，证明：．简证：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性