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1、七、周期性与对称性问题编号周期性对称性1→T=2→对称轴Û是偶函数；→对称中心（a,0）Û是奇函数2→T=→对称轴；→对称中心；3f(x)=-f(x+a)→T=2f(x)=-f(-x+a)→对称中心4→T=2→对称中心5f(x)=±→T=2f(x)=b-f(-x+a)→对称中心6f(x)=1-→T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2
2、a-b
3、(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且
4、T=2
5、a-b
6、(3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4
7、a-b
8、（4）应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例1：①已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=–f(x)，则f(6)的值
9、为（B）A.–1B.0C.1D.2解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又T=4，所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。（x=1/2）练习：（2010重庆）已知函数满足：，，则=_____________.解析：取x=1y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2)=—f(n
10、-1)所以T=6故=f(0)=例2.已知函数y=f(x)满足，求的值。解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知函数y=f-1(x)的图象关于点（1001，0）对称,所以,即=0例3.奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间［0，2T］上，方程f(x)=0根的个数最小值为（）CA.3个B.4个C.5个D.6个解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T，x3=2T.又因为令x=0得,∴=0
11、.(本题易错选为A)例4．①f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。解：∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于（3，0）对称又∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴T=8∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y
12、=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且aR) （1）求f(x); （2）是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)). ∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(
13、x))在y=g(x)图象上. 由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称） 设x[-1,0]，则2-x[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3 又f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x[-1,1]. ∴当x[0,1]时，f(x)=2ax-4x3 （2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当a(2,6]时，由0x1得a-2x2＞0， f(x)=2x(a-2
14、x2)=≤=（当且仅当4=a－2,即x=[0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令=12得=486>,∴a>6,这与a(2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在. (ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－) 同理可证f(x)=(当且仅当2=1-,即x=时等号成立),也与已知矛盾. (ⅲ)当a>6时,设0,则f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)[a-2(++)]，由题设0<++<3,a>6 ∴a-2(++)>0 又-<0 ∴f()-f()<0即f()
