抽象函数的对称性与周期性

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1、抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。二、复合函数的奇偶性定义1若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

2、定义2若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对

3、称）三、复合函数的对称性性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称证明性质3：令（m，n）为y＝f(a＋x)上任一点，则n＝f(a＋m)令b－x＝m＋a，x＝b－m－a则（b－m－a，n）为y＝f(b－x)上相应的一点又点（m，n）与点（b－m－a，n）关于直线x＝＝轴对称∴y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4令（m，n）为y＝f(a＋x)上任一点，则n＝f(a＋m)则（b－m－a，－n）为y＝f(b－x)上相应一点点（m，

4、n）与点（b－m－a，－n）关于点（(m＋b－m－a)/2，0）即（(b-a)/2，0）中心对称∴y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称推论1复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称四、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2

5、a

6、是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)五、函数的对称性与周期性性

7、质4若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2

8、a－b

9、性质5若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2

10、a－b

11、性质6若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4

12、a－b

13、下证性质6f(x)关于点（a，0）中心对称，∴f(2a－x)＝－f(x)f(x)关于直线x＝b轴对称，∴f(2b－x)＝f(x)∴f(2a－x)＝－f(2b－x)令t＝2a－x则x＝2a－tf(t)＝－f[(2b－2a)＋t]＝f(t＋4b－4a)∴

14、f(x)为周期函数且T＝4

15、a－b

16、例题与应用例1函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）（2002年3＋X高考预测试题（四月卷））A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例2设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）证明：∵f(x)关于x＝0和x＝1轴对称∴f(x)为周期

17、函数且T＝2例3设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（）（1996年理工类第15题）A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.5解：∵f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)∴f(x)为周期为4的周期函数f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B。例4设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f