一元二次(函数)方程根(零点)的分布问题

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1、勤研辅导中心学员资料高考热点专题系列之一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．一、.若在内研究方程的实根情况只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．二、若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件1）若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．2）若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：（1）　　　（2）（3）（4）由

2、图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：（1）（2）勤研辅导咨询电话：13893386429qq:375202204勤研辅导中心学员资料（3）（4）可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：

3、这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．三、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程（）的两个实根为，，且。【定理1】：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。勤研辅导咨询电话：13893386429qq:375202204勤研辅导中心学员资料【定理2】：，或由二次函数图象易知它的正确性。【定理3】【定理4】，且；，

4、且。四、一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。构造相应二次函数（）【定理1】【定理2】。【定理3】。【定理4】有且仅有（或）勤研辅导咨询电话：13893386429qq:375202204勤研辅导中心学员资料【定理5】或此定理可直接由定理4推出。【定理6】或例题选讲。1.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围1.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围2.方程mx2+2

5、(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围3.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围5．设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则m,n必须满足什么关系。（(m+2)2+(n+2)2<4）6．关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。（k<-4或k>0）7．实数m为何值时关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两个实根x1,x2满足0

6、<4）8．已知方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0，另一根大于2，求实数a的取值范围。（2