函数零点、方程根问题

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1、第一讲：函数零点、方程根问题方法：零值定理、罗尔定理、费马定理、泰勒公式1°关于方程f(x)=0根的存在性,唯一性证明(1)证明方法1)利用零值定理2)通过单调性(或反证法)证根的唯一性(2)典型问题例1设f(x)在(-,)上连续,且证明:存在一(-,),使解设F(x)=f(x)+x,则F(x)在(-,)上连续因为存在M1>0,使F(M1)>0又因存在M2<0,使F(M2)<0在[M1,M2]上对F(x)利用零值定理，存在(M1,M2)使得即证明:在(1,+)内方程f(x)=0仅有一实根例2设在(-,)上处

2、处有,且解将f(x)在x=1处泰勒展开得当时,f(x0)<0,在[1,x0]上对f(x)利用零值定理，存在(1,x0)使f()=0.又f(x)=0仅有一个实根设非负函数f(x)在上二阶可导，在的任意子区间内不为恒为0，且，证明方程在内若有根，则仅有一个根例3（第五讲/四/3）解反证法设存在x1,x2(a,b)使f(x1)=f(x2)=0据罗尔定理，存在(a,b)使又矛盾例4（第六讲/一/10）设f(x)二阶可导，，且存在x0使得f(x0)<0又证明f(x)有且仅有两个零点解由条件存在G>0使x0(-G,G),且当时，当时

3、，取x1<-G,x2>G又由存在使f(a)>0,f(b)>0在上利用零值定理f(x)在中分别至少有一零点f(x)至少有两个零点反证法，假设f(x)有三个零点c1,c2,c3使由罗尔定理，至少有一零点,矛盾对于方程f(x)=0,研究曲线y=f(x)的图象特性1)求出f(x)的驻点,不可微点,划分单调区间2)求出f(x)的极值(或最值)3)分析极值(或最值)关于x轴的相对位置,确定根的个数2°方程根的个数问题(1)证明方法(2)典型问题例5讨论方程的根解原方程设，则(1)若b<0,则，f(x)在R上单调增又由零值定理，存在(-,

4、+)使f()=0,且唯一即方程在(-,+)内有且仅有一个实根(2)若b>0,则f(x)有驻点由于x0使极小值点唯一的极值点且为极小值点x0是f(x)在(-,+)上的最小值点，最小值当f(x0)<0,即b>elna时由于方程在(-,+)内有且仅有两个实根当f(x0)>0,即0

5、值点,然后运用费马定理例6（第五讲/三/3)设f(x)在上可导，且证明在内至少有两个根解不妨设，则由极限的局部保号性，存在1>0,2>0,使取，则根据零值定理，存在c(x1,x2)使f(c)=0从而有f(a)=f(c)=f(b),在[a,c],[c,b]上利用罗尔定理存在(a,c),(c,b)使,证明:至少存在一点,使例7设f(x)在1,2上有二阶导数,且,又解由于F(x)在1,2上连续,1,2内可导,且F(1)=F(2)=0再利用罗尔定理，存在(1,)(1,2)使在1,上，连续,可导，且据罗尔定

6、理，存在（1，2）使F()=0例8（第五讲/三/4)设，其中均为实数，其中n为正整数。且，证明在至少有n个根，解因为,由于同号，这里k=0,1,,2n根据零值定理存在至少有2n-1个零点根据罗尔定理反复利用罗尔定理至少有n个零点例9设f(x)在a,b上可导,且,证明:存在(a,b)使得解不妨设，则由存在1>0,2>0使连续函数f(x)在[a,b]上的最小值在(a,b)中取得即存在(a,b)使据费马定理,试证明:至少存在一点,使例10设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=

7、1,因f(x)在0,1上连续,由积分中值定理，解存在0,1，使据费马定理由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)内取得f(x)在0,1上的最大值，即存在(0,1)，使