量子力学的矩阵形式和表象变换

《量子力学的矩阵形式和表象变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.5量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。1、量子态的不同表象幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为,见图其标积可写成下面的形式我们将其称之为基矢的正交归一关系。平面上的任一矢量可以写为其中，称为投影分量。而称为在坐标系中的表示。现在将坐标系沿垂直于自身面的轴顺时针转角度，则单位基矢变为，且同样有而平面上的任一矢量此时可以写为其中投影分量是，。而称为在坐标系中的表示。现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，。

2、20用、分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有表成矩阵的形式为由于、及、的夹角为，显然有或记为其中是把在两坐标中的表示和联系起来的变换矩阵。变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。很容易证明，R具有下述性质：由于,其中，故称这种矩阵为正交矩阵。但（对应于真转动（properrotation））且（实矩阵）20我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。到现在为止，我们介绍了三种矩阵：厄米矩阵：正交矩阵：幺正矩阵：这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。（2）量子力学中的表象形式上与上述类似，在量子力学中，按照态

3、的叠加原理，任何一个态可以看成Hilbert空间的一个“矢量”。体系的力学量F完全集的共同本征函数系（k代表一组完备量子数）构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F表象。同样对于任意态矢量，有其中这一组系数就是态（矢）在F表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。与代数不同的是：①这里的“矢量”（量子态）是复数；②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。现在考虑同一个态在另一组力学量完全集(表象)中的表示。设本征态为，满足正交归一，即20态用这组态矢展开，即其展开系数为，则这一组系数就是态在表象中的表示。那么？方法同前述。因为显然，对后一等式用作内积，有其中是表象基矢与F

4、表象基矢的内积。上式也可以写成矩阵的形式：简记为通过S矩阵相联系，且，即S矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。例试证明：S矩阵是幺正矩阵[分析]只要证明的矩阵元是即可。在F表象中，有根据S矩阵元的定义，上式为利用前面的介绍，函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即20则上式可见，矩阵为单位矩阵，即。2、力学量算符的矩阵表示仍以线性空间的矢量作类比（正向转动θ角）已经知道：令，写成分量的形式，有用对上式点乘，得即按照右下图，有20其中。与此类比，设经算符作用后变成，即以F表象（力学量F完全集的本征态）为基矢，即，则有下面我们看如何通过上式由求。对

5、，以作标积，得其中。由上式可见，力学量算符对态的作用可以写成因此，矩阵一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在作用下的变化也就完全确定了。例求一维谐振子坐标x、动量p以及HamiltonianH在能量表象中的表示。[分析]：不同体系的Hamiltonian不一样，能量表象的基矢也不一样。这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamiltonian的本征函数。解：利用一维谐振子波函数的递推关系20所以注意：这里的m、n都是由0开始取值。这样而所以是一个对角矩阵。任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。3、量子力学的矩阵表示设力学量完全集F的本征态是分立的（基矢可数），在F表象中，力学量L用矩

6、阵表示为，且20而量子态ψ则表示成列矢的形式，即，其中这样，量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式。下面我们分别讨论Schrödinger方程、平均值公式以及本征值方程的矩阵形式。(1)Schrödinger方程在F表象中，，系数为时间t的函数。代入上述方程得对左乘作内积，得而，这样利用基矢的性质，有写成矩阵的形式是(2)平均值公式对于力学量算符若，即在自身表象中，则将此式代入上页平均值公式，有20则取值为的几率是。(3)本征值方程对本征值方程，用代入，有用与上式作内积，可得即这是的齐次线性方程组。方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即写出明显的矩阵形式是如表象空间的维数为N，

7、则上式是关于的N次方程，有N个实根。记为用解得的代入前面所得方程组可以得到。表成列矢的形式为20它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。注意：若有重根，则会出现简并（不同的态对应相同的能级），简并态还不能唯一确定。4、力学量的表象变换在F表象中，是基矢，力学量算符可以表成我们试图寻找与的关系。是基矢，则用作用到上式中，有即或其中同理可得，其中。（将S矩阵元提到积分号外）即。其中。则是从间基矢变换的幺正矩阵，即20注意：S是不同表象基矢间的变换矩阵。§4.6Dira