量子力学的矩阵形式与表象变换.pptx

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1、Review力学量用算符表达算符运算规则（线性算符，算符之和，算符之积，逆算符，算符函数、厄米算符等）第1页算符对易式1.体系任何状态下厄米算符的平均值为实数2.任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符厄米算符一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。第2页量子力学的一个基本假定是：测量力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态Ψn，则每次测量得到的结果都是An.厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统量子理论中，测量对系统影响很大。在微观原子系统中，测量将极大地扰乱系统。每次测量之后，波函数受到严重干

2、扰，发生突变（波函数坍缩）第八章量子力学的矩阵形式与表象变换教学内容第3页§1量子态的不同表象，幺正变换§2力学量（算符）的矩阵表示§3量子力学的矩阵形式§4Dirac符号§1量子态的不同表象，幺正变换1.1一矢量在两坐标系中的表示第4页平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面内任意矢量可表示为当A1,A2确定之后就确定了平面上一个矢量A。因此,(A1,A2)可以认为就是矢量A在坐标系x1x2中的表示（列矢）。现假设有另一直角坐标系x1′x2′，其基矢为e1′,e2′满足在

3、此坐标中矢量A表示为（A1′,A2′）就是矢量A在x1′x2′系中的表示。是把在两个坐标系的表示联系起来的变换矩阵。第5页x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθORT(θ)是R(θ)的转置矩阵。易看出，变换矩阵R有如下的性质又因R＊=R，所以R＋=RT＊=RT，因而即R是么正矩阵，因此，一个矢量在两个坐标系中的表示通过一个么正变换相联系。6在量子力学中，按态的叠加原理，任何一个量子态，可以看成是抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”，体系的任何一组力学量完全集的共同本征态可以用来构成此态空间的一组正交完备的基矢（称为表象）。1.2同一

4、量子态在两不同表象中的表示F表象：力学量完全集的共同本征态Ψk,满足（Ψj，Ψk）＝δjkF′表象：力学量完全集的共同本征态Ψ′α,满足（Ψ′α，Ψ′β）＝δαβ(a1,a2,..)就是态在F表象中的表示。(a’1,a’2,..)就是态在F’表象中的表示。体系的任何一个态Ψ可以用它们展开：7以Ψ′α*左乘上式并取标积，利用正交归一性得即表象F’基矢与F表象基矢的标积。上式就是同一个量子态在表象F’中的表示与它在F表象中的表示的关系，它们通过一个矩阵S相联系。以上两个表示有何联系？显然写成矩阵的形式：可以证明：即变换矩阵S是么正矩阵，所以变换也称为么正变换。8证明：

5、SS+=S+S=I第9页封闭性关系2.力学量（算符）的矩阵表示仍以平面矢量做类比，设矢量A逆时针转动θ角后，变为另一矢量B。在x1x2坐标系中，它们分别表示为R(θ)表沿逆时针方向把矢量转过θ角的运算。用分量形式写出分别用e1和e2点乘，得令10上式表明，把矢量逆时针旋转θ角的操作可用矩阵R(θ)刻画其矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的。例如:第一列元素是基矢e1经旋转后(变成Re1)在坐标系各基矢方向的投影；第二列元素描述e2在旋转下如何变化。故R矩阵给定，则所有基矢在旋转下的变化完全确定。力学量的矩阵表示与此类比，设态Ψ经算符L运算后变为另一态:在以Ψk为基矢

6、的F表象中，上式表示成:两边左乘Ψj＊（取标积），得：11上式表成矩阵形式则为：这里矩阵[Ljk]称为算符L在F表象中的矩阵表示。不难看出，矩阵[Ljk]一旦给定，任何矢量在L作用下如何变化也就完全确定了。12矩阵Fnm的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，即将满足该式的矩阵称为厄米矩阵13Q在自身表象中的矩阵元Qm为Q在自身空间中的的本征值结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵14第15页例：的坐标x,动量p和Hamilton量H在能量表象中的矩阵表示。谐振子的能量本征函数ψn(n=0,1,2,……)满足第16页一维无限深势阱能量的本征函数基矢为:求

7、一维无限深势阱中粒子的坐标算符及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示。解：能级n=1,2,3,…..例:17当时，非对角元为:当m=n时,对角元为:坐标算符x18哈密顿算符对角元：19如X在坐标空间中可表示为动量p在动量空间中表示为分别是L在表象F和F′中的矩阵表示，而S=(Sαk)是从F表象到F′表象的幺正变换。力学量的表象变换F表象中(基矢Ψk)，力学量L表示成矩阵(Lkj)F’表象中(基矢Ψ’α)，L表示成矩阵(L’αβ)20量子态和力学量的矩阵表示表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。F表象（基矢ψk）第21页态ψLF’表象（基矢ψ’α）L为厄米矩阵，L+

8、=L；对角