第28讲 递推方法.doc

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1、小学奥数培优：以德为先以礼育人以知建树以生为本善学习会思考懂生活知做人勤实践能创造第二十八讲递推方法月日课次◇专题知识简述◇有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，

2、再看36+13=49得到验证。⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。那么所求的是第六项是62=36。我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。象这种解题方法称为递推法。◇例题解析◇10个910个9例1999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？分析我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=98

3、01，有2个奇数；999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数；……10个910个9从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。Aa1a2a3a4a5a6a7a8例2如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？B分析先从AB之间只有一个点开始，在逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。AB之间只有1个点：线段有1+2=3条。AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6条。AB之间只有3

4、个点：线段有1+2+3+4=10条。AB之间只有4个点：线段有1+2+3+4+5=15条。……不难发现，当AB之间有8个点时，线段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数×（点数-1）÷2。例3计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。分析这是一道特殊的计算题，当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算出这题的结果。这样的计算工作量比较大，是否可以采用其它较简便的方法计算呢？下面我们就来研究这个问题。13+23=（1+2）2；13+23+33=（1+2+3）2；13

5、+23+33+43=（1+2+3+4）2；……这样我们可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2=552=3025通过这个例题我们可以得到13+23+33++……+n3=（1+2+3+…+n）2例42000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：最后留下的这个人原来的号码是多少？分析我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

6、第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……；都是2的倍数。即21的倍数；第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……；都是4的倍数，即22的倍数；第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。即23的倍数；……由于210=1024＜2000＜211=2048；这样可知，最后留下学生的号码一定是1024。-3-小学五年级编订者：杨威小学奥数培优：以德为先以礼育人以知建树以生为本善学习会思考懂生活知做人勤实践能创造例5圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上

7、的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？11112211223333分析先可以采用作图尝试寻找规律。第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，…，第六步有32个点。因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只须知道每一步增加数的总和是多少。第一步：圆周上有两个点，两个数的和是1+1=2；第二步：圆周上有四个点，四个数的和是1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上所有数之和的2倍。第三步：圆周上有八个点，八个数的

8、和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第二步数圆周上所有数之和的2倍。第四