[中考数学]第28讲计数方法

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1、新课标七年级数学竞赛讲座第二十八讲计数方法所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．当研究的对象比较简单，且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可．当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．乘法原理：做一件事，完成它需

2、要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…mn种不同的方法．例题【例1】如图，从甲地到乙地共有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有条路可走．(重庆市竞赛题)思路点拨从甲地到丙地可分两类办法；直达和转乙地．注：计数方法原理属于组合数学这门范畴，随着计算机科学的迅猛发展，教学学科原有的平衡被打破了，组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力．使用乘法原理与加法原理的不

3、同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每步都完成了，这件事情才得以完成．【例2】右图中的小方格是边长为1的正方形，则从到中一共可以数出()个正方形．A．24B．210C50D．90(“五羊杯”邀请赛题)思路点拨图中的正方形可以分成边长为l，边长为2，边长为3，边长为4这4种类型，分别求出每种规格的正方形个数．【例3】我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多

4、少个交点?一般地，n条直线最多有多少个交点?说明理由．思路点拨从特殊情况人手，由简到繁，深入思考，从中发现规律．【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成(1)多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数?(2)多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，多少个偶数?www.1230.org初中数学资源网收集整理新课标七年级数学竞赛讲座思路点拨要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，(2)问与(1)问的差别在于，增加了“没有重复”的限制．【例5】两条平行直线上各有n个

5、点，用这n对点按如下规则连接线段：①同一直线上的点之间不连接．②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点．(1)画图说明当n＝1，2，3时，连接的线段最多各有多少条?(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论；(3)当n＝2003时，所连接的线段最多有多少条?(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把直线标记为l1，l2，它们上面的点从左到右分别为人A1，A2，A3，…An和B1，B2，B3…Bn，设这n对点之间连接的直线段最多有pn条，解题的关键是探讨pn+1与

6、pn的关系．注：运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复、无一遗漏．因此，枚举法常与分类法结合使用，几何计数有以下常见分类方式：(1)按图形的类型分类；(2)按图形的大小分类；(3)选定参照图形分类．解几何计数问题时，从特殊情况入手，仔细观察、归纳，递推，猜想，发现规律．是一种行之有效的方法．注：你知道这些结论吗?(1)在一条直线上若有n个点，则图中以这些点为端点共有条线段，共有2n条射线；(2)平面面上若有n个点，经过其中每两点画一条直线，则最多可以画条直线；(3)平面上若有n条直线两两相交，则交点个数最

7、多有个；(4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线)，则图中共有个小于平角的角．学历训练1．第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，所有三个口袋中的球各不相同．(1)从口袋中任取一个球，共有种不同的取法．(2)从三个口袋中各取一个球，有种不同的取法．2．如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成个等腰直角三角形．(泉州市中考题)www.1230.org初中数学资源网收集整理新课标七年级数学竞赛讲座3．画一条直线，可将平

8、面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成个部分．(“希望杯”邀请赛试题)4．一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送．例如信息到b2；点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送，则信息由A点到达d3的不同途径共有()．A．3条B．4条C．6条D．12条(南宁市中考题)5．如图，图中不同的线段的条数有()．A．52条B．63条C．141条D．154