高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数与导数

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1、高三数学第二轮专题复习系列(2)--函数与导数一大纲解读该部分内容在课程标准中约占整个高中数学教学总课时的，它的范围是必修一除集合外的全部内容和选修的第一章导数及其应用，其主要考试要求是基本初等函数的概念、图象和性质，函数与方程、函数模型及其应用，导数的概念、运算，以导数为工具的对函数性质和应用的进一步深入探讨，对理科还有对定积分概念以及与此相关的问题，在高考试卷中分值约是，与实际教学中的课时比例基本相当．二高考预测可以预计作为高中数学主干知识的函数与导数的内容，在2009年的高考中仍将占有重要位置，将是全方位、多层次（估计会有个以对基本初等

2、函数的概念性质和对导数及其应用的基本内容为主的选择和填空题）、巧综合、变角度（一个以函数为载体导数为工具综合考查数学知识和数学思想的综合解答题）的考查方式，对理科来说定积分及其应用也是一个值得关注的地方.三、重点剖析1.函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域，值域（最值），图象，单调性，奇偶性，周期性等．例1（08年山东卷理4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（A）(A)3(B)2(C)1(D)-1解析：A该函数的图象是一个在两侧斜率为的射线，在之间为平行于轴的线段，若要该函数图象关于对称，只需

3、关于对称，，即。点评：本题考查对带有绝对值的函数的理解和分析问题的能力。实际是带有绝对值的函数是一个分段函数，题目给出的是一个三段的函数，解题的关键是用“零点分区“去掉绝对值后，对各段上函数解析式的认识。易错指导：对“零点分区”去绝对值的方法认识模糊，不能正确地将函数化为分段函数；缺乏理性思维，不能“想象”出函数图象的大致形状，是一个类似水渠横断面的图形。例1（08年山东卷文12）已知函数的图象如图Oyx所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．解析：A首先由于函数单调递增，；又，即，所以，故。点评：本题考查指数函数、对数函数等基础知识，考查分

4、析问题解决问题的能力。解题的关键是根据指数函数、对数函数的性质和所给的图象特征找出所满足的不等关系。易错指导：不能自觉地利用函数性质，理解错函数图象给出的关系等，是本题出错的主要原因。2.函数模型及其应用、函数的零点定理第21页（共21页）例2．关于的方程，给出下列四个命题：①．存在实数，使得方程恰有2个不同的实数根；②．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数根；③．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数根；④．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数根；其中假命题的个数是（）．0．1．2．3分析：若展开直接求解，问题将复杂化；可根据方程的结构特征，

5、利用换元法化高次为低次，转化为我们熟悉的二次函数模型进行解答．解：令，则方程可化为，分别作出（如图1）和（如图2）的图象，结合图象可知：当与轴只有一个交点时，即（此时）时，结合图象可知原方程有4个根；当图象下移，此时图象与轴有两个交点且在0和1之间（此时），原方程有8个根；当（即）时，原方程有5个根；当图象继续下移，此时且只能取一个正值，原方程有5个根。故选．图1图2点评：在复习时，我们要熟练掌握二次函数、一次函数、指数函数、对数函数、耐克函数的模型；这些模型可以用来解决最值问题、方程问题、抽象函数问题．易错指导：要特别注意转化的合理性，如上

6、例中要注意换元后新元素的取值范围．3.函数性质的刻画与导数的几何意义，以及以此为主要手段的不等式的证明，参数范围的讨论，实际应用等问题．例3（08年江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝．解析：，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．点评：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．导数的几何意义是：函数在处的导数值是函数图象过点（）的切线的斜率；曲线上的一点处的切线方程为：．例4（08年山东卷理21）已知函数，其中，第21页（共21页）为常数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．解

7、析：（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，当时，，所以．（1）当时，由得，，此时．当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）当时，恒成立，所以无极值．综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为；当时，无极值．（Ⅱ）证法一：因为，所以．当为偶数时，令，则（）．所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立．当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当时，．当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．第21页（共21页）令，，则，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成

8、立．故当时，有．即．点评：本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与极值的关系等基础知识，考查分类讨论、化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力