高三数学(理科)专题【2】《函数与导数》

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1、专题二函数与导数1要点回扣1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.[问题1]函数y＝的定义域是________.22.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.[问题2]已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝_______________.1－x2(x∈[－1,1])33.分段函数是

2、在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.44.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.5∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.答案奇65.弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(

3、x

4、).(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f

5、(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.78解析由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数.选D.答案D96.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.(－∞，0)，(0，＋∞)107.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函

6、数.(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.(4)导数法：适合于可导函数.(5)换元法(特别注意新元的范围).11(6)分离常数法：适合于一次分式.(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.1213148.函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.(2)翻折变换：f(x)→

7、

8、f(x)

9、；f(x)→f(

10、x

11、).(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；15②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.16[问题8]函数y＝

12、log2

13、x－1

14、

15、的递增区间是__________________.作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞).[0,1)，[2，＋∞)171810.二次函

16、数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).19(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，

17、要考虑到二次项系数可能为零的情形.20[问题10]若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为__________.2122(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0).23[问题11]函数y＝loga

18、x

19、的增区间为_____________.答案当a>1时，(0，＋∞)；当0

20、α(α∈R)的函数为幂函数.(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线.③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的.25④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.B2