正整数指数函数教案

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1、1　正整数指数函数1．正整数指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.谈重点对正整数指数函数定义的理解(1)正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．要注意正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别．(2)在正整数指数函数的定义中，为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？这是因为，若a＝0或a＝1，则对于任意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，这时，ax是一个常量，没有研究的必

2、要；若a＜0，则在后面的学习中，当我们把正整数指数函数扩充到实数指数函数时，对于x的某些取值，ax无意义，从而无法扩充．【例1】下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)．A．y＝(－4)x(x∈N＋)　　B．y＝3－x(x∈N＋)C．y＝2×3x(x∈N＋)D．y＝x3(x∈N＋)解析：根据函数的解析式判断一个函数是否为正整数指数函数，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征．y＝(－4)x的底数－4＜0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由排除法可选B.实际上，由后

3、面将要学习的指数运算的性质可知，y＝3－x＝是正整数指数函数．答案：B2．正整数指数函数的图像特征正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的图像由一些孤立的点组成．当a＞1时，它的图像从左向右是上升的；当0＜a＜1时，它的图像从左向右是下降的，整个图像都在第一象限内．如，函数y＝2x(x∈N＋)和y＝(x∈N＋)的图像如下．　　y＝2x(x∈N＋)　　　y＝(x∈N＋)破疑点为什么正整数指数函数的图像不是一条连续的曲线这是因为，正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的连续曲线连起来．也就是说

4、，正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成，而不是一条连续的曲线．【例2】函数，x∈N＋的图像是(　　)．A．一条上升的连续曲线B．一条下降的连续曲线C．一系列上升的孤立的点D．一系列下降的孤立的点解析：因为正整数指数函数，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的孤立的点．答案：D3．正整数指数函数的性质正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)有如下性质：(1)定义域：正整数集N＋；(2)值域：从函数值域的定义来分析，函数的值域是所有函数值组成的集合，由于正整数指数函数的定义域是N＋，不连续，故其值域也不连续，是由一组“孤立”的实数组成

5、的集合，其值域是{a，a2，a3，…}．(3)单调性：y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的单调性取决于底数a.当a＞1时，函数是增函数；当0＜a＜1时，函数是减函数，这里要特别注意的是，虽然正整数指数函数是单调函数，但是不存在单调区间．(4)奇偶性：因为正整数指数函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以其不具有奇偶性．(5)最值：当a＞1时，函数有最小值，无最大值，最小值为a；当0＜a＜1时，函数有最大值，无最小值，最大值为a.解技巧正整数指数函数的性质的理解正整数指数函数的图像和性质分别从形、数两个方面对正整数指数函数加以剖析，因此在处理与正整数指数函数有关

6、的问题时应注意数形结合思想的运用；由于底数大于1时与底数小于1时的单调性不同，所以也应注意分类讨论思想的运用．【例3－1】函数y＝5x，x∈N＋的值域是(　　)．A．RB．N＋C．ND．{5,52,53,54，…}解析：因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．答案：D【例3－2】函数，x∈N＋是(　　)．A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数解析：由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C，D；因为函数，x∈N＋

7、的底数大于1，所以此函数是增函数．答案：A【例3－3】函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是(　　)．A．RB．N＋C．[0，＋∞)D．不存在解析：虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．答案：D4．利用正整数指数函数的单调性比较幂值的大小比较幂的大小常用构造法，若两个幂的指数相同，则可构造同指数的幂函数；若两个幂的底数相同，则可构造同底数的指数函数，构造好函数模型后，通过研究函数的单调性，利用自变量的大小来确定函数值的大小．例如，比较下列几个幂0.910,0.911,1.1