函数的周期性与函数的图

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1、函数的周期性㈠主要知识：周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,①，则是以为周期的周期函数；②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数；④，则是以为周期的周期函数；⑤，则是以为周期的周期函数.⑥，则是以为周期的周期函数.⑦，则是以为周期的周期函数.⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为

2、周期的周期函数；⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；3、图象的对称性一个函数的对称性：1、函数的图象关于点对称特殊的有：①函数的图象关于点对称。②函数的图象关于原点对称（奇函数）。③函数是奇函数关于点对称。④，函数关于点对称2、两个函数的对称性：①与关于X轴对称。②与关于Y轴对称。③与关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称.函数与函数关于直线对称。特殊地:与函数的图象关于直线对称①与关于直线对称。②关于点(a,b)对称。③关于直线对称例1定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且

3、，则一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例2设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以例3函数的图像的一条对称轴的方程是（）解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例4设是定义在R上的奇函数

4、，且的图象关于直线，则：_____________解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以例5、函数对于任意实数满足条件，若则__________。练习1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0

5、.6)=f(－0.6)=0.3练习2设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)练习3已知在R上是奇函数，且AA.-2B.2C.-98D.98练习4、函数

6、满足，若，则(C)（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）练习5、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值为（）A、B、1C、D、2练习6、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为(C)A．　　　B．　　　C．　　　　D．练习7、定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)A.-1B.0C.1D.4练习8、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)A、2009B、-2009C、-2D.、2练习9、的定义域是，且,若求 f(2008)的值。解：周期为8，练习10、已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：

7、①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.其中正确的命题序号是 ④ .【解析】 ①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数

8、；③是错误的，在第一个函数中，用－x