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《正弦函数、余弦函数的函数的周期性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时问题提出问题.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是[-1,1]函数的周期性一、周期函数的概念思考1:观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π诱导公式sin(2kπ+x）=sinx其理论依据是什么？诱导公式sin(x+2π
2、)=sinx,的几何意义．xyoXX+2πXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律思考2:设f(x)=sinx,则sin(x+2π)=sinx用符号语言可以怎样表示？f(x+2kπ)=f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).思考3:把函数f(x)=s
3、inx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢？周期函数的定义:对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答:周期函数的周期不止一个.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每
4、一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.已知f(x+T)=f(x)(T≠0)，求证:f(x+2T)=f(x)．证明：因为T是f(x)的周期，所以f(x+T)=f(x)，F[(x+T)+T]=f(x+T)，即f(x+2T)=f(x)．因此2T是f（x）的周期．这个命题推广可得到什么结论？2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合．最小正周期:今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般
5、都是指函数的最小正周期.思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c为常数）否如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数’非零常数T就叫做这个函数的周期.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.答：正弦函数y=sinx有最小正周期
6、，且最小正周期T=2π思考6：我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有,那么最小正周期T等于多少？证明：假设存在T∈(0,2π)使得y=sinx对于任意的x∈R都成立那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin（x+T）=sinx．这与T∈(0,2π)时,cosT＜1矛盾.这个矛盾证明了y=sinx,x∈R的最小正周期是2π.令x=π/2,代入上式得，sin（π/2+T）=sinπ/2=1.但sin（π/2+T）=cosT，于是又cosT=1。证
7、明：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2πf(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件.对于任意常数T(T≠0),如果在函数定义域中至少能找到一个x,使f(x＋T)＝f(x)不成立,则y=f(x)不是周期函数.对于某个确定的常救T≠0.如果在函数定义域中至少能找到一个x,使f(x＋T)＝f(x)不成立.我们能断言T不是函数y=f(x)的周期,但不能说明y＝f(x)不是周期函数．判断下列说法是否正确（1）时，则一定不是的周期（）√（2）时，则一定是的周期（）×XX+2πyx024-2y
8、=sinx(x∈R)自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π三角函数的周期性:4.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期T=2π．余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期T=2π．思考7：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢
