线性代数 利用性质计算行列式

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1、行列式的性质一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1行列式与它的转置行列式相等,即.性质1行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.备注：交换第行（列）和第行（列），记作.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.推论行列式

2、的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.验证我们以4阶行列式为例.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则验证我们以三阶行列式为例.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算阶行列式解将第列都加到第一列得例3设证明证明对作运算

3、，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为对D的前k行作运算，再对后n列作运算，把D化为下三角形行列式故(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质