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《线性代数之行列式的性质及计算ch》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二节行列式的性质与计算教学目标：⑴使学生掌握行列式的性质；⑵使学生熟练掌握行列式的计算.教学重点：行列式的性质、行列式的展开.教学难点：行列式的展开;n阶行列式的计算.教学关键：使学生明确行列式的计算方法:一个是利用性质来把行列式化简为上三角行列式;一个是按行按列展开为低阶的行列式来计算；但在实际计算过程中,往往结合起来使用.教学方法：启发式教学法教学时数：2课时教学过程：第一环节：新课引入第二节行列式的性质与计算第二环节：讲授新课§2.1行列式的性质考虑将它的行依次变为相应的列，得称为的转置行列式.性质1行列式与它的转
2、置行列式相等.（）13事实上，若记则说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.性质2互换行列式的两行()或两列()，行列式变号.例如推论若行列式有两行（列）完全相同，则.证明:互换相同的两行,则有,所以.性质3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数，等于数乘以此行列式，即推论：(1)中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2)中某一行(列)所有元素为零，则；性质4:行列式中如果有两行(列)元素对应成比例,则此行列式等于零．性质5:若行列式某一行(列)的所有元素都是
3、两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即.证:由行列式定义13性质6行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变，即计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值．例1:计算行列式解:..此方法称为归边法.例2:计算n阶行列式13解:(1)(箭形行列式)(2)注意到行列式各行元素之和等于,有.例3:设13证明:证:对作行
4、运算,把化为下三角形行列式:对作列运算,把化为下三角形行列式:先对的前k行作行运算,然后对的后列作列运算,把化为下三角形行列式:故,.思考练习1.计算行列式2.证明3.证明134.计算行列式答案2.左边=.3.证(1)左边13(2)左边右边4.解:从第4行开始，后行减前行得，§2.2行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列，余下的元素按原来的
5、顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作；而称为元素的代数余子式.例如三阶行列式中元素的余子式为元素的代数余子式为13四阶行列式中元素的代数余子式为二、行列式按行（列）展开定理阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证（1）元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时而,故;（2）将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;经次对调后，就位于第一行、第一列，即.(3)一般地13.推论n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数
6、余子式的乘积之和为零，即证考虑辅助行列式该行列式中有两列对应元素相等.而，所以.关于代数余子式的重要性质13在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下
7、去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4:计算四阶行列式.解:.例5已知4阶行列式解:(方法1)直接计算(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算..13例6:计算阶行列式解：..例7:计算四阶行列式.解:按第1行展开，有,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得.例8:证明范得蒙行列式（Vandermonde)13,其中表示所有可能的的乘积.证:(用数学归纳法)时,结论正确;假设对n-1范得蒙行列式结论成立，以下考虑阶情形..例9用范德蒙行列式计算4阶行列式解：对照范德蒙行列式，此处所以有
8、.13第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解:(方法1)直接计算(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有13
