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1、线性代数二次型习题及答案第六章二次型??B1?与???合同.AB?2??2?证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1TAC11，1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明?T因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.?A1令C???C1???，则C可逆，于是有C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11???????????TBC2??A2CAC?2????222???A1??B1?即?与???合同.AB?2??2?2．设A对称，B与A合同，则B对称证：由A对称，故A?A.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使B
2、?CAC，于是TTA?T?1??C?C?2???CA2?BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使PTAP与PTBP均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使MTAM?E记B1?MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使TQTB1Q?D?diag(?1,?,?n)其中?1,?,?n为B1?MTBM的特征值.令P=MQ，则有PTAP?E,PTBP?DA,B同时合同对角阵.4．设二次型f??(ai?1mi11令A?(aij)m?n，则二次型f的秩等于
3、r(A).x???ainxn)2，证：方法一将二次型f写成如下形式：f??(ai1x1???aijxj???ainxn)2i?1m设Ai=(ai1,?,aij,?,ain)(i?1,?,m)·107·?a11?a1j?a1n??A1?????????????则A??ai1?aij?ain???Ai??????????????a????m1?amj?amj??Am??A1??????mTTTT于是AA?(A1,?,Ai,?,Am)?Ai???AiTAi??i?1????A??m??ai1??????mm22故f??(ai1x1???aijxj???ainxn)=?
4、[(x1,?xj,?xn)?aij?]??i?1i?1????a??in??ai1??x1??x1????????????????mmT=?[(x1,?xj,?xn)?aij?(ai1,?aij,?ain)?xj?]=(x1,?xj,?xn)(?AiAi)?xj???????i?1i?1??????????a??x??x??in??n??n?=X(AA)X因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵．显然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．T方法二设yi?ai1x1???ainxn,i?1,?,n.记Y?(y1,?,ym)，于是
5、Y?AX，其中X?(x1,?,xn)T，则2f??yi2?y12???ym?YTY?XT(ATA)X.i?1m因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵．显然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．T5．设A为实对称可逆阵，f?xAx为实二次型，则A为正交阵?可用正交变换将f化成规范形.证：?设?i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以?i是实数，且?i?0,i?1,?,n.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换X?PY下，f化为标准形，··108即f?XTAX?YT(PTAP)Y?YTDY?YTdiag(?1,?
6、,?i,?,?n)Y22??1y1（*）????iyi2????nyn因为A是正交矩阵，显然D?PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故?i2?1即知?i只能是?1或?1，这表明（*）恰为规范形.?因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换X?QY下二次型f化成规范形，于是22?YDYf?XTAX?Y(QTAQ)Y?y1???yr2?yr2?1???ynT其中r为f的正惯性指数，D?diag(1,?,1,?1,?,?1).TT显然D是正交矩阵，由D?QAQ，故A?QDQ，且有AA?AA?E，故ATT是正交矩阵
7、.6．设A为实对称阵，
8、A
9、?0，则存在非零列向量ξ，使ξTAξ?0.证：方法一因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使PTAP?D?diag(?1,?,?i,?,?n)其中?i(i?1,?,n)是A的特征值，由
10、A
11、?0，故至少存在一个特征值?k，使?k?0，?0??????取ξ?P?1?，则有??????0?????1??0??0????????????????TT??1???k?0,,1,?0?,0)?kξAξ?(0,?,1,?,0)PAP?1??(0?????????????????0?????n??????0?方法二（反证法）T若?X?0，都有XAX?0，
12、由A为实对称阵，则A为半
