线性代数二次型习题及问题详解

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1、实用文档第六章二次型1．设方阵与合同，与合同，证明与合同.证：因为与合同，所以存在可逆矩，使，因为与合同，所以存在可逆矩，使.令，则可逆，于是有即与合同.2．设对称，与合同，则对称证：由对称，故.因与合同，所以存在可逆矩阵，使，于是即为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使记，则显然是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使令P=MQ，则有同时合同对角阵.4．设二次型，令，则二次型的秩等于.证：方法一将二次型f写成如下形式：文案大全实用文档设A=则于是故====X(AA)X因为为对称

2、矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵．显然()=(A)，故二次型f的秩为(A)．方法二设.记，于是，其中，则.因为为对称矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵．显然()=(A)，故二次型f的秩为(A)．5．设为实对称可逆阵，为实二次型，则为正交阵可用正交变换将化成规范形.证：设是的任意的特征值，因为是实对称可逆矩阵，所以是实数，且.文案大全实用文档因为是实对称矩阵，故存在正交矩阵，在正交变换下，化为标准形，即（*）因为是正交矩阵，显然也是正交矩阵，由为对角实矩阵，故即知只能是或，这表明（*）恰为规范形.因为为实对称可逆矩阵，故二次型的秩为.设在正交变换下二次型化成规范形，于

3、是其中为的正惯性指数，.显然是正交矩阵，由，故，且有，故是正交矩阵.6．设为实对称阵，，则存在非零列向量，使.证：方法一因为为实对称阵，所以可逆矩阵，使其中是的特征值，由，故至少存在一个特征值，使，取，则有方法二（反证法）若，都有，由为实对称阵，则为半正定矩阵，故与矛盾.7．设n元实二次型，证明f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．解：设的特征值，则存在正交变换，使文案大全实用文档设是中最大者，当时，有因此这说明在=1的条件下f的最大值不超过．设则令，则并且这说明f在达到，即f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．8．设正定，可逆，则正定.证：因为正定，所以存在可逆矩阵

4、，使，于是，显然为可逆矩阵，且，即是实对称阵，故正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+正定．证：先证必要性取，因为A为实对称矩阵，则当然是正定矩阵．再证充分性，用反证法．若A不是可逆阵，则r（A）

5、正定矩阵.12．设阶实对称阵的特征值全大于0，的特征向量都是的特征向量，则正定.证：设的特征值分别为.由题设知.因为是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使即为的特征向量，.由已知条件也是的特征向量，故因此，这说明是的特征值，且，.又因为.故，显然为实对称阵，因此为正定矩阵.13．设为正定矩阵，为非零实数，记则方阵B为正定矩阵．证：方法一因为是正定矩阵，故为对称矩阵，即，所以，这说明B是对称矩阵，显然=对任给的n维向量，因为非零实数，所以，又因为A是正定矩阵，因此有文案大全实用文档=即B是正定矩阵．方法二记则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，B的k阶顺序主子阵可由A的阶顺序主

6、子阵分别左，右相乘对角阵而得到，即计算的行列式，有故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有可推出M的特征值(或者其实部)大于零．由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有．因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的非零向量X，均有而A+B显然是实矩阵，故.15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BAB)=r(B)．证：考虑线性方程组，显然线性方程组．考虑线性方

7、程组，若是线性方程组，因此有文案大全实用文档．上式两端左乘因为A是正定矩阵，因此必有，故线性方程组与是同解方程组，所以必有r(BAB)=r(B).16．设为实对称阵，则存在实数，使.证：因为为实对称阵，则存在正交矩阵，使.其中为的特征值，且为实数，.于是取，则，故.17．设为阶正定阵，则对任意实数，均有.证：因为为正定矩阵，故为实对称阵，且的特征值.则存在正交矩阵，使于是对任意，有.18．设为半正定阵，则对任意实数，均有.证：因为为半正定矩阵，故为实对称矩阵，且的特征值，.则存在正交矩阵，使文案大全实用