资源描述：
《2差分方程模型课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、差分方程模型差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型差分方程的种类：1.一阶线性常系数差分方程2.高阶线性常系数差分方程3.线性常系数差分方程组4.非线性差分方程例1一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xk，xk=xk-1（r+1）,x0=Mn年后本息为:xn=M（r+1）^n一阶差分方程模型例2污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度C(k),则C(k+1)=(1-q)C(k)差分方程解的稳定性一阶线性常系数差分方程：可以用变量替换的方法将方程（1）的平衡点稳定性转换为对于方程（2），其解显然为：立即可知方程（2）平
2、衡点稳定的条件是：差分方程解的稳定性对于二阶线性差分方程，我们考虑首先写出它的特征方程不难验证上述差分方程的解为对于非齐次方程的平衡点的稳定性条件与上述条件相同差分方程解的稳定性对于二阶方程的上述结果可以推广到n阶线性方程，即稳定平衡点条件是特征方程-------n次代数方程的根最后讨论一阶非线性的差分方程（3）的稳定性和（4）相同高阶线性常系数差分方程例一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活
3、过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件.高阶线性常系数差分方程解：设一棵植物平均产种数为c,种子能够活过冬天的比例为b,活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b,在下一年春季发芽的比例为a2。X(k)~第k年的植物数量，设今年种下(并成活)的数量为X0X(1)=a1bcX0X(k)=a1bcX(k-1)+a2b(1-a1)bcX(k-2)记
4、p=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bcX(1)+pX0=0,X(k)+pX(k-1)+qX(k-2)=0差分方程的特征方程：y^2+py+q=0解得根y1,y2差分方程的解：X(k)=c1y1^k+c2y2^k当
5、y1,y2
6、<1,X(k)趋于0。要植物能延续下去
7、y1,y2
8、>1实验设c=10，a1=0.5，a2=0.25，b=0.18,0.19,0.20，x0=100线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.在A市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.
9、3,0.1在B市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.2,0.7,0.1在C市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型，讨论时间充分长以后的变化趋势.x1(k),x2(k),x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量x1(k+1)=0.6x1(k)+0.2x2(k)+0.1x3(k)x2(k+1)=0.3x1(k)+0.7x2(k)+0.3x3(k)x3(k+1)=0.1x1(k)+0.1x2(k)+0.6x3(k)记A=[0.10
10、.10.6；0.30.70.3；0.60.20.1]，x(k)=[x1(k),x2(k),x3(k)]T则x(k+1)=Ax(k)设稳定值为x：Ax=x稳定状态为：A对应于特征值1的特征向量x1+x2+x3=600计算得：x1=180,x2=300,x3=1207.4按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…以雌性个体数量为对象第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi第i
11、年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组的种群数量~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布~Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi>0)稳定状态分析的数学知识L矩阵存在正单特征根1，若L矩阵存在bi,bi+1>0,则P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数且解释L对角化稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布~种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。~各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率与基本模型比较3）=1时~各年龄组种群
12、数量不变~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析~存活率si是同一时段的xi+1与xi之比（与si的定义比较）3）=1时实验设一种群分成n=5个年龄组,繁殖
