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1、§1差分方程1.1差分方程简介规定t只取非负整数。yt为y在t点的取值，则称为yt的一阶向前差分，简称差分，称为yt的二阶差分。由t、yt及yt的差分给出的方程称为yt的差分方程，其中含yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程满足一差分方程的序列yt称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程为n阶常系数线性差分方程，。其对应的齐次方程
2、为差分方程解的理论和微分方程解的理论类似。方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根则齐次方程（2）的通解为求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。例如，当例1求解两阶差分方程解对应齐次方程的特征方程为其特征根为对应齐次方程的通解为故原方程的通解为例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词
3、的个数。解令h(n)表示容许传输且长度为n的词的个数，n=1,2,…，h(n−2)种方式完成。于是，得差分方程通过简单计算求得：h(1)=3，h(2)=8。当n≥3时，若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n−1)种方式完成；若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按其特征方程为特征根则通解为利用条件h(1)=3，h(2)=8，求得在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数如何取值，在t→+∞时总有yt→0，则称方程（1）的解是稳定
4、的.根据通解的结构不难看出，非齐次方程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。市场经济中的蛛网模型减肥计划——节食与运动差分形式的阻滞增长模型按年龄分组的种群增长§2差分方程模型市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P
5、0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经
6、济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xk
7、x0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡
8、~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周
