一个结论在解竞赛题中的应用

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1、一个结论在解竞赛题中的应用江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300我们先来证明下面的结论（可进行推广）：若a12＋a22＝1①b12＋b22＝1②a1b1＋a2b2＝1③则a1＝b1，a2＝b2．证明：①+②－③×2，得(a1－b1)2＋(a2－b2)2＝0．由非负数的性质，得a1＝b1，a2＝b2．在数学竞赛中的应用举例：例1已知实数a，b满足，求a2＋b2的值．解：因为所以于是a2＋b2＝1．例2已知3cosα＋4sinα＝5，求tanα的值．解：因为cosα＋sinα＝1cos2α＋sin2α＝1所以cosα＝，sinα＝于是tanα＝．例3已知，求的值．解：因为cos2β＋sin2

2、β＝1cosβ﹒＋sinβ﹒＝1所以cosβ＝，sinβ＝即cos2β＝cos2α，sin2β＝sin2α于是＝1．例4求满足条件的实数x．解：由题意可知x＞0，已知条件可化为又所以解之并且检验，得x＝．例5已知a、b、c，x、y、z均为实数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，试求的值．解：因为所以，，即于是＝．练习：1．已知，求的值．2．解方程．（答案：1．1；2．提示：显然x≠0，原解方程可化为，x＝±）常用符号：≠＝　　≤≥＜＞∽≌⊙△＋―×?÷∶±√∵∴∥⊥∠°′″℃αβγθΦπⅠⅡⅢⅣⅩ①②③④．