均值代换在解竞赛题中的应用

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1、2中等数学●数学活动课程讲座●均值代换在解竞赛题中的应用李耀文(山东省枣庄市第十八中学，277200)中图分类号：0122．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)08～0002～04(本讲适合初中)xy+，+Y一‘·将+，，=m中的、Y分别用詈+z、詈一两式相乘得来代换，这种代换通常称为均值代换．用均2y=(竽)0．值代换解一些数学竞赛题可以简化解题步骤，收到理想的解题效果．下面举例予以解得±÷．说明．因为x．y均是正整数，所以，1求代数式的值当￡=÷时，有+Y=8，xy=15；例1已知实数x,y、满足当￡=一÷时，有+Y=5及=

2、+)，一9．贝Ⅱ+2y+3z=——．+y=15，xy=8(舍去)．(2002，山东省初中数学竞赛)故+y=(+)，)2xy=34．解由+，，=5，可设例3设a、6都是正实数，且55+，Y一‘一—一—：0．‘代人=+一9化简整理得则(丢：+(+)一o．于是，z=0，￡=一÷．解由题设知．垒_一旱：1。．00所以，=2，Y=3．故+2y+3z：8．设0=+，一詈D=÷Z一t．例2已知、Y是正整数，并且两式相乘得丢一t2=一1．xy+戈+)，=23，，，+2：120．则+y2‘．——解得：±2．(2001，全国初中数学联赛)由于a、b都是正实数，则解由+

3、+Y=23，可设收稿日期：2010—04—27告：⋯o．2010年第8期3所以，：45bc_-a2—8口+7：一t2．4化简整理得于是，+了a=2t=．3口2—30Ⅱ+27：一4￡2．所以，3a一30a+27≤O．故㈦。+(詈)解得l≤口≤9．b=一十詈)【(+詈)2—3×b×詈]3证明等式或不等式=[()一3×1】=2．例6若口+b十c=0，a’+b+c=0，求证：a+b+c=0．2求参数的取值范围(1988，北京市中学生数学竞赛(初二))例4已知实数口、b满足证明由已知得a+6=一c．a+口6+b：1．且=ab—a一b．设n=一号+t，6=一号

4、一t．则t的取值范围是．——代入a+b’+C=0化简整理得(2001，全国初中数学竞赛)解由题设知c(手√)-o．一a2+b：①，所以，c=o或t=±÷．4ab=(1+)．②若C=0，贝0a=一b，有a+b‘9+c=0；由式①可设若￡=±÷，则2口=+p，a=0，b=一c或b=0，a=一c，代入式②化简整理得有口+6+C19=0．(t+3)(3t+1)=一16p．综上，a+b+c=0．所以，(t+3)(3t+1)≤0．例7设、)，、z都是实数，满足条件+y+z=口，++=1口解得一3≤t≤一÷．a>0)．例5已知实数a、b、c满足求证：0≤≤÷口，

5、0≤y≤-；E‘。0，0≤号寺口．r口一bc一8Ⅱ+7=0，(1990，安徽省合肥市初中数学竞赛)lb+c+bc一6Ⅱ+6=0．证明由+y+=a，得)，+z=口一．试求a的取值范围．(1995，吉林省初中数学竞赛)设y=+t~Z-解由题设知fbc=Ⅱ一8a+7，代入+)，+z=÷a2化简整理得I(b+c)=(Ⅱ一1)．①3一2=一4t．所以，由式①得b+C=±(a一1)．所以，3x一2ax≤O．6=+t)c-解得0≤≤÷口．两式相乘得由对称性，同理可得4中等数学o≤y≤争≤5求最大(小)值4求解万裎(组)例1O设实数x,y、满足+Y+=5，++猫：

6、3．例8解+则的最大值是．(2004，“信利杯”全国初中数学竞赛)解不妨设解由+Y+z=5，得2(+1)7¨，+Y5一z．=设=，，=两式相乘得12=492代入++=3化简整理得一．3一lOz一13：一4t．所以，±吉．_故3z一lOz一13≤0．当t=1时1解得一1≤z≤．、，=+，化简整理得一2x一1=0，解得=1±．所以，的最大值是．当t=一I时，+：1：吾一IZ，化简例11设实数x,y、满足尸+)，一l，整理得一3一l=0，解得=．【缈=g2—7z+14．问：。+y的最大值是什么?当为何值经检验，知=1±，=±．都是时，+y取最大值?原方程

7、的根．(第31届IMO国家集训队测试)例9设、、均是实数．解方程组解由+，，=一1，可设r2+3，，+：13，z一1—1z—～+，y了一f·l4x+9y十-2x+l5)，+3z=82．①(1992，“友谊杯”国际数学邀请赛)代入=。一7z+l4化简整理得解由+3y+z=13，得3一26一55：一4t．+=13一．所以，3z一26z一55≤0．2x=3y=解得≤：≤5．代人式①化简整理得由+y2=(十y)2—23(z-4)+4(z一手)．0．=(—1)。一2(Z。一7z+l4)=一(一6)+9，所以，z=4，t=．则当=5时，+的最大值是8．于是，=

8、3，Y=1．纵观上述各例，均值代换其实质是数学因此，原方程组的解为解题中的一种常用换元方法，关键是构造引(，Y。0)：(3