函数的定义域与值域

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1、函数的值域求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一.遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.一、函数的值域的概念一般的，设函数的定义域为，函数值的集合叫做函数的值域，它是由函数的定义域和对应关系共同决定的.值域还可以理解为函数值的取值范围.二、常见函数的值域(结合图像理解)1．一次函数的定义域是，值域也是.2．二次函数的定义域是，当时，值域为

2、或当时，值域为.或3．反比例函数定义域为或，值域为或.4．常函数的定义域为，值域为5．指数函数的定义域为，值域6．对数函数的定义域为，值域为.7．幂函数的定义域为，值域为.的定义域为，值域为8．三角函数和的定义域为，值域为的定义域为，值域为.1．对勾函数的定义域为，值域为一、常见函数在给定区间上的值域1.一次函数2.二次函数3.反比例函数二、图像法若给定函数能够作出图象，则可通过观察图象直接得出该函数的值域，但必须保证函数的图象要非常精确，尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点（顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等，及这些点的

3、虚实情况）.主要处理分段函数的值域.1.答：2.答：三、单调性法如果函数在上单调递增，则其值域为；如果函数在上单调递减，则其值域为.例1例2分子有理化例3解：令则，一、定义法对于有些函数不能作出图像，单调性又不明确，要求出这些函数的值域需要从定义域（的取值范围）出发，从内到外经过对应关系层层退出，直到求出函数值的取值范围.主要用来处理复合函数的值域(对函数先求出的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法).1.2.3.二、分离常数法（齐次分式函数）1.一次齐次分数函数例1例2例3例4例52.部分二次齐次分数函数解：一、换元法（形如的值域问题）1.令

4、则注意新旧两元范围的变化2.三角换元令3.三角换元令二、判别式法-----函数的值域就是使关于的方程在定义域有解的的取值范围.形如，其中，且分子分母无非常数公因式.三、基本不等式法例1求函数的值域例2求函数的值域四、几何法利用几何上的一些结论，如两点间的线段最短、直线外一点与直线（或平面）上各点连线中垂线断最短.五、反求法用来表达，适用于的范围知道，且能用来表达例1例2求函数的值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法都有极强的针对性，每一种方法又不是万能的，要顺利的解答求函数的值域问题，必训熟练掌握各种技巧方法.函数的图像知识网络清点