整式运算的思想方法

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1、【本讲教育信息】7月11日一.教学内容：暑假专题1——整式的运算中的思想方法二.学习重难点：整式的运算中的思想方法是本节课的重点也是难点三.知识要点讲解：数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，在数学中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助大家理解数学思想，以便在解题中灵活地运用，现就几种数学思想分析如下.（一）逆向思维思想方法在整式的乘法运算中，有时可以将乘法公式逆向使用，使问题易于解决.例1、已知求代数式的值分析：本题是一道求值问题，如果将a、b、c的值直接代入计算，则非常的麻烦，观察已知条件及所求式子，联

2、想所学习的数学知识，可以通过逆用完全平方式解决.解：由已知，得a－b=1，b－c=－2，c－a=1，所以==，将a－b=1，b－c=－2，c－a=1代入，得原式=3.试一试：计算（x－2y+3z）2－（x+2y－3z）2.（二）代数思想代数思想即用字母代替数，在解决一些较复杂一些的数的计算中，如果能恰当地利用字母去代替数值，从而将数字计算转化为数学式子的化简，可使计算明快简捷.例2、已知M=2004×2005－1，N=20042－2004×2005+20052，试比较M、N的大小.分析：为了比较简便，可设200

3、4=a，那么M=a（a+1）－1=a2+a－1，N=a2－a（a+1）+（a+1）2=a2+a+1，因为M－N=（a2+a－1）－（a2+a+1）=－2，所以Mb），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，

4、验证了公式_____.分析：本题是一道数形结合创新题，通过图形的面积计算，验证乘法公式.从图形中的阴影部分可知其面积是两这个正方形的面积差，即a2－b2，又由于图的梯形的上底是2b，下底是2a，高为a－b，所以梯形的面积为=（a+b）（a－b），根据面积相等，得乘法公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.解：填a2－b2=（a+b）（a－b）.试一试：请你观察下图，依据图形的面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个和整式乘法运算相关的等式，这个等式为（）（A）（x+y）2=x2+2xy+y2（B）（x－y）2

5、=x2－2xy+y2（C）（x－y）2=x2－2xy－y2.（D）（x+y）2=x2+y2答案：B（四）整体思想在整式的加减运算中，整体思想是一种重要是数学思想，解决问题时，将局部放在整体中观察、分析，寻找整体与局部之间的联系，可使问题简便解决。摘　要：用整体思想法解题，是指将题目中的某些条件或结论看作一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题，从而起到化繁为易的作用。一）整体代入例4、如果，那

6、么代数式的值为（）A、6B、8C、－6D、－8分析：由先求出的值，用现有的知识无法解决.若将看作一个整体，将的值整体代入，则可使问题巧妙获解.解：因为，所以=1，所以=（）＋－7=×1＋－7=（）－7=1－7=－6，故选Ｃ.例5、已知代数式x2+3x+3的值等于6，求代数式2x2+6x+10的值。分析：从已知条件可得x2+3x+3=6，所以可得x2+3x=3，由现在的知识点不能求出具体的x的值。所以应思考其他的解题方法，因为2x2+6x=2（x2+3x），所以可将x2+3x作为一个整体代入解决问题.解：由已知，

7、得x2+3x+3=6，所以x2+3x=3，所以2x2+6x+10=2（x2+3x）+10=2×3+10=16.试一试：已知a－b=3，b－c=2，求代数式（a－c）2+3a－3c+1的值.答案：41二）整体合并例6、计算－6（－＋）＋4（＋－）＋8（－＋）＋3（－－）.分析：因为3（－－）=－3（＋－），所以可把－＋，＋－各看作一个整体，先合并再去括号，可使运算简捷.解：原式=－6（－＋）＋4（＋－）＋8（－＋）－3（＋－）=〔－6（－＋）＋8（－＋）〕＋〔4（＋－）－3（＋－）〕=2（－＋）＋（＋－）=3－＋

8、.三）整体加减例7、已知3－3=33，3－3=－21，求代数式－和－2＋的值.分析：若由已知求出、的值，需解二元二次方程组，同学们目前尚不会解，但注意观察已知式与求值式，只要将两已知式整体相加、减后再变形即可巧解.解：因为（3－3）＋（3－3）=3（－）=33＋（－21）=12，所以－=4.以因为（3－3）－（3－3）=3－6＋3=33－（－21）=54，所以－2＋=18.四）整体转化