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《实数的连续性定理及其应用研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、摘要实数集合的连续性是实数系的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括:确界存在定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理等.本文主要阐述实数集八个基本定理及其相关内容,而且在基于实数系连续性公理基础之上,顺序证明了这八个基本定理.首先用单个定理做基础来证明其它的定理,其中重点求证了有限开覆盖定理及区间套定理和其它定理间的等价关系；而后,运用和一般教材不同的证明顺序先后对八个定
2、理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解.关键词:连续性；区间套；有限开覆盖；等价性AbstractContinuityofthesetofrealnumbersisbasiccharacteroftherealnumbersystem,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Peopledescribedanddepicteditfromdifferent
3、angles,andaseriesofcontinuoustheoremsofrealnumbersareobtained,includingexistencetheoremofsupremum,theoremofnestedclosedinterval,boundedmonotoneconvergencetheorem,accumulationprinciple,thefinitecoveringtheorem,Cauchycriterion,thecompactnesstheoremandsoon.In
4、thisthesis,eightfundamentaltheoremsandrelatedcontentsfortherealnumbersetaredescribedandtheeightfundamentaltheoremsareprovedinasequencebasedonthecontinuityaxiomofrealnumbersystem.First,withthesingletheorem,theothertheoremsareproved,inwhichtheequivalencerela
5、tionbetweenthefinitecoveringtheorem,theoremofnestedclosedintervalandothertheoremsaremainlydiscussed.Second,thecycleprooffortheeighttheoremsaregivenoneafteranotherintheorderwhichisdifferentfromgeneraltextbooksandtheirequivalencerelationsareobtained.Finally,
6、theirimportantapplicationsininvestigatingthepropertiesofthecontinuousfunctionsareintroducedandextended,anddeeperunderstandingofthebasicfeaturesofcompletionabouttherealnumbersetisreceived.Keywords:Continuity;theNestedInterval;limitedopencovering;Equivalence
7、目录引言1第一章实数连续性相关概念及定理证明31.1实数空间31.1.1实数的定义与性质31.1.2实数的定义与性质31.1.3实数公理51.1.4实数集的连通性61.2实数连续型基本定理及证明71.2.1确界存在定理71.2.2单调有界定理与区间套定理91.2.3紧性定理101.2.4柯西准则111.3实数基本定理的等价证明111.3.1基本定理循环例证111.3.2用区间套定理证明其他定理141.3.3用单调有界定理证明其余五个定理141.3.4用有限覆盖定理证明其他定理15第二章实数连续性的应用研究1
8、62.1连续函数性质的证明182.1.1连续函数的有界性定理182.1.2连续函数的介质性定理182.1.3一致连续性定理202.2实数连续性等价命题的应用222.2.1确界定理在解题中的应用222.2.2有限覆盖定理在解题中的应用222.2.3柯西收敛准则在解题中的应用232.3实数连续性的推广应用24结论26参考文献27致谢28引言《数学分析》是以函数和各种分析性质为基本基本对象,其主要包含连续性,可积性以及
