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1、第四章实数的连续性§4.1实数的连续性定理§4.2闭区间连续函数整体性质的证明极限的理论问题首先是极限的存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且与数列所在的数集有关.我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理是数学分析理论的基石.§4.1实数的连续性定理定理1.(闭区间套定理)设有闭区间列若:则存在唯
2、一数属于所有的闭区间(即),且:一、闭区间套定理从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.注:一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.非空数集有上界,则它有无限多个上界,在这无限多个上界之中,有一个上界与数集有一种特殊关系.定义:设是非空数集.若使(1)(2)则称是数集的上确界.表为二、确界定理定义:设是非空数集.若使(1)(2)则称是数集的下确界.表为定理(可列化)设是非空集合，
3、则定理(可列化)设是非空集合，则作为确界定理的应用，我们用确界定理来证明单调有界数列必有极限的公理.设是一个区间（或开或闭）、并有开区间集（的元素都是开区间、开区间的个数可有限也可无限）.定义：若则称开区间集覆盖区间.三、有限覆盖定理一个开覆盖.定理3(有限覆盖定理）若开区间集覆盖闭区间，则中存在有限个开区间也覆盖了闭区间.注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔定理.2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间改为开区间,定理不一定成立.例如开区间集覆盖开区间，但是，中任意有限个开区间都不
4、能覆盖开区间证明此定理的证明方法有多种这里还是运用 区间套定理来证明,仍然要注意区间套的取法.若定理不成立,也就是说不能被中任 何有限个开区间所覆盖.将区间等分成两个 子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为显然有再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个不能被S中有限个开区间所覆盖.设该区间为[a2,b2]同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间,满足下列三个性质:(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被S中有限个这就是说,[aN,bN
5、]被S中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.矛盾.四、聚点定理证设{an}为有界数列,若{an}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{an}不含有无限多个相等的项,则{an}作为点集是有界的.由聚点原理,可设是{an}的一个聚定理5(致密性定理)有界数列必有收敛子列.敛于.点,那么再由命题2,可知{an}中有一个子列收五、致密性定理定理4有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.又因由极限的不等式性质,可得作为致密性定理的应用,我们
6、来看下面这个例题.例3设在上连续，如果那么存在使证明:因故有界.由致密性定理，六、柯西收敛准则定理6(柯西收敛准则)数列收敛我们在§2.2定理8中己给出数列的柯西收敛准则的必要性的证明,在这里我们仅证明它的充分性.证.下面证明{an}以a为极限.因为{an}是柯西列,所以对于任意正数例5用有限覆盖定理证明聚点定理.证设S是无限有界点集,则存在M>0,使得设开区间集很明显,H覆盖了闭区间[–M,M].根据有限覆盖由H的构造,所以矛盾.定理,存在H中的有限子覆盖实数完备性理论的一个重要作用就是证明闭
7、区明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾经在第三§4.2闭区间连续函数性质的证明经在第三章给出过.一、性质的证明二、一致连续性定理一、性质的证明定理1(有界性)若函数在闭区间连续,则函数在闭区间有界,即证法由已知条件得到函数在的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间有界,可应用有限覆盖定理,从而能找到.证明:(应用有限覆盖定理证明)由连续函数的局部有界性:另一种证法采用致密性定理.设f(x)在[a,b]上无界,不妨设f(x)无上界.则存在故由归结原理可得矛盾.写方便,不妨假
8、设{xn}自身收敛,令因为{xn}有界,从而存在一个收敛的子列.为了书定理2(最值性)若函数在闭区间连续,则函数在取到最小值与最大值,即在上存在与,使且证法只给出取到最大值的证明.根据定理1,函数在有界.证明设,用反证法,假设显然,函数在连续,且.于是,函数在连续.根据定理1,存在有即不是数集的上确界,矛盾.于是定理3(零点定理)若函数在闭区间 连续，且(即异号),则在开区间内至少存在一点,使.证明因f(x)在[a,b]连续且,将[a,b]等分成两个区间[a,c],[c,b],若f(c)=0,已
