2003数学三试题 考研数学真题及解析

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1、2003年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为________.（3）设a>0，而D表示全平面，则=_______.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=______.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为________.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小

2、题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[]（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A)在处的导数等于零.（B）在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.[]（3）设，，，则下列命题正确的是(A)若条件收敛，则与都收敛.(B)若绝对收敛，则与都收敛.-4-(C)若条件收敛，则与敛散

3、性都不定.(D)若绝对收敛，则与敛散性都不定.[]（4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[]（5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次

4、}，={正面出现两次}，则事件(A)相互独立.(B)相互独立.(C)两两独立.(D)两两独立.[]三、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求-4-五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]

5、上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中试讨论和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求a,b的值；-4-(1)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13

6、分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).-4-