2003考研数三真题及解析

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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)设其导函数在处连续，则的取值范围是.(2)已知曲线与轴相切，则可以通过表示为.(3)设，而表示全平面，则=.(4)设维向量；为阶单位矩阵，矩阵，，其中的逆矩阵为，则.(5)设随机变量和的相关系数为0.9,若，则与的相关系数为.(6)设总体服从参数为2的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1

2、)设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数()(A)在处左极限不存在.(B)有跳跃间断点.(C)在处右极限不存在.(D)有可去间断点.(2)设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是()(A)在处的导数等于零.(B)在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.(3)设，，，则下列命题正确的是()19(A)若条件收敛，则与都收敛.(B)若绝对收敛，则与都收敛.(C)若条件收敛，则与敛散性都不定.(D)若绝对收敛，则与敛散性都不定.(4)设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有()(A)或.(B)或.(C)且.(D)且.(5)设均为维向量，下列结论不正

3、确的是()(A)若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件()(A)相互独立.(B)相互独立.(C)两两独立.(D)两两独立.19三、(本题满分8分)设，试补充定义使得在上连续.四、(本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、(本题满分8分)计算二重积分其中积分区域六、

4、(本题满分9分)求幂级数的和函数及其极值.七、(本题满分9分)设,其中函数在内满足以下条件：，，且,(1)求所满足的一阶微分方程；(2)求出的表达式.八、(本题满分8分)设函数在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且.试证：必存在，使九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组19其中试讨论和满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型，中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求的值；(2)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本

5、题满分13分)设随机变量的概率密度为是的分布函数.求随机变量的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量与独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的概率密度.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析19一、填空题(1)【答案】【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量，是函数的自变量，要使该式成立，必须，即.当时，要使在处连续，由函数连续的定义应有由该式得出.所以在处右连续的充要条件是．(2)【答案】【详解】设曲线与轴相切的切点为，则.而，有又在此点坐标为0(切点在轴上)，于是有，故，所以(3)【答案】【详解】本题积分区域为全

6、平面，但只有当时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．==19(4)【答案】-1【详解】这里为阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有==，于是有，即，解得已知，故．(5)【答案】【详解】利用方差和相关系数的性质，，又因为仅是减去一个常数，故方差不会变，与的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．，且又，所以(6)【答案】．【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算

7、术平均值：【详解】本题中满足大数定律的条件，且=，19因此根据大数定律有依概率收敛于二、选择题(1)【答案】【详解】方法1：直接法：由为奇函数知，；又由，知在处没定义，显然为的间断点，为了讨论函数的连续性，求函数在的极限．存在，故为可去间断点．方法2：间接法：取，此时=可排除三项．(2)【答案】【详解】由函数在点处可微，知函数在点处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得在点处的两个偏导数都等于零．从而有选项正确．(3)【答案】【详解】由，，知，若绝对收敛，则收敛.再由比较判别法，与都收敛，后者与仅差一个系数，故也收敛，选(B)