高等数学-微分中值定理及其应用

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1、微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性一罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。一．极值概念：1．回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理(Fermat)设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间[a，b]上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得（ξ）=0。证明：因为在

2、［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是的极值点，由条件(ii)在点ξ处可导，故由费马定理推知=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不

3、一定成立。例如：易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）,即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，显然在（-1，1）内存在无限多个=使得=0。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[]上连续；ii）ƒ在开区间()内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得证明此定理要构造辅助函数，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii

4、)且，从而推得证明：作辅助函数显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ(a，b)，使得即注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与直线AB,之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精

5、彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出ƒ在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。3、拉格朗日

6、中值定理的几个重要推论推论1函数在区间I上可导且为I上的常值函数.证明：任取两点（设），在区间[]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ（）I，使得推论2函数和在区间I上可导且推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取，在[]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在ξ，使得由于＜ξ＜，因此当时随之有ξ→，对上式两边取极限，使得（2）同理可得因为=存在，所以==，从而即注1°由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连

7、续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4(导函数的介值性)若函数在闭区间上可导,且(证)1．单调性判法：Th1设函数在区间内可导.则在内↗(或↘)在内(或).证明：必要性充分性在I上递增。例设讨论它的单调区间。解，,，例2求函数的单调区间。Th2设函数在区间内可导.则在内严格↗(或严格↘)ⅰ）对有(或;ⅱ）在内任子区间上例证明不等式证明：设时