三角函数式的化简与求值

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1、三角函数式的化简与求值　　知识网络　　三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点　　以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：23　　1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。　　2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。3、等

2、价转化思想以及三角变换的基本技能重难点归纳1求值问题的基本类型①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2技巧与方法①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法④求最值问题，常用配方法、换元法来解决二、知识要点　　（一）三角函数坐标定义的推论　　1、三角函数值的符号　　2、特殊角的三角函数值23　　3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：　　（2）同角公式“全家福”

3、　　①平方关系：.　　②商数关系：.　　③倒数关系：4、诱导公式：　　（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角　　①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。　①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。（2）诱导公式的引申　　；　　；　　.（二）两角和与差的三角函数23　　1、两角和的三角函数　　两角差的三角函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　令＝　2、倍角公式　　；　　　　＝　　＝；　　　　　3、倍角公式的推论　　推论1（降幂公式）：　　　　；23　　；　　.　推论2（万能公式）：　　；　　.推论3（半角公式）：　　；　　；　　.　　其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题　　例1、填空：　　（1）已知的取值范围为　　　　　　　　（2）已知的取值范围为　　　　　　　　　　　　分析：　　（1）从已知条件分析与转化入手　　　　①23　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　∴由①、②得，　　∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：　　左边＝　　　　　　　　　　①　　右边＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　　　　　　②∴由左边＝右边得　　　　，　　∴应填　　点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：　　（1）23　　（2）（3)不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值分析：　　（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.解：（1）原式＝（2）解法一（利用关于正切的倍角公式）：　　注意到　　∴　　∴原式＝　　

6、＝　　＝　　＝　　＝cot20°23　　解法二（利用掌握的典型关系式）：　　注意到（证明从略）　　∴原式＝　　＝　　＝　　＝cot20°点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.例3.　　（1）已知，求的值；　　（2）已知　分析：　对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；　　对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入，以准确已知的延伸方向.解：（1）由已知得　　∴　　注

7、意到23　　∴由已知得（至此，目标的变形方向明确）于是有　　原式＝　　＝（2）由已知得　　原式＝　　＝　　＝　　　　　　　　　　　　　　①　　（至此寻求的目标明确）　　又∵　　∴　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　②于是②代入①得，原式＝.　点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性.　例4.（1）已知（2）已知23（3）已知　　（4）已知分析：已知某一个（或两个）