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1、2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数专题五：函数与导数应用（1）——教师版——导数的求导法则、几何意义、不等式一、基本练习：1、函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于___4_____解析:y′
2、x=1=［（x2+2x+1）（x－1）］′
3、x=1=［x3+x2－x－1］′
4、xx=1=（3x2+2x－1）
5、x=1=4.2、设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于___________解析:f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=
6、.3、对任意x，有（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为__________A.f（x）=x4－2B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3D.f（x）=－x4解析：筛选法.答案：A4、已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是___4x－y－4=0.___.解析：∵P（2，4）在y=x3+上，又y′=x2，∴斜率k=22=4.5、.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为____（，）或（－1，1）_______.解析:设点A的坐标为（x0,y0）,则y
7、′
8、x=x=2x
9、x=x=2x=k1,又直线3x－y+1=0的斜率k2=3.∴tan45°=1==
10、
11、.解得x0=或x0=－1.∴y0=或y0=1,即A点坐标为（，）或（－1，1）.6、如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为_54_解析：∵s′=6t2，∴s′
12、t=3=54.7、若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为___4_____.解析：∵y′=2x－1，∴y′
13、x=－2=－5.又P（－2，6+c），∴=－5.∴c=4.二、典型例题
14、：42006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数例题1：设函数y=ax３＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－４=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x－４，P点坐标适合方程，从而d=－４.又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜x=0=12,而y′=３ax2＋2bx＋c，y′｜x=0=ｃ，从而c=12.又函数在x=
15、2处取得极值0，所以y′｜x=2=0,f（2）=0,即12a＋４b＋12=0,８a＋４b＋20=0.解得a=2，b=－9.∴所求函数解析式为y=2x3－9x2＋12x－４.例题2：设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是_____m∈（－∞，）___.解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－，f（－1）=5，f（－）=5，f（1）=3，f（2）=7.∴m<3.例题3：求证：x>1时，2x3>x2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则（x）=6
16、x2－2x=2x（3x－1）.当x>1时，（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.（选做）例题4：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f－1（x）及f（x）的导数f′（x）;（2）假设对任意x∈［ln（3a）,ln（4a）］，不等式
17、m－f－1（x）
18、+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围.解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），得x=ln（ey－a）
19、，所以y=f－1（x）=ln（ex－a）（x＞lna）.f′（x）=［ln（ex+a）］′=.（2）由
20、m－f－1（x）
21、+ln（f′（x））＜0,得ln（ex－a）－ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex－a）+ln（ex+a）－x.42006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数设（x）=ln（ex－a）－ln（ex+a）+x,（x）=ln（ex－a）+ln（ex+a）－x,于是原不等式对于x∈［ln（3n）,ln（4a）］恒成立.等价于（x）＜m＜（x）.（*）由′（x）=－+1,′（x）=
22、+－1,注意到0＜ex－a＜ex＜ex+a.故有′（x）＞0,′（x）＞0,从而（x）、（x）均在［ln（3a）,ln（4a）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当（ln（4a））＜m＜（ln（3a））,即ln（a）＜m＜ln（a）.三、课后练习：1、确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：=2x+b，k=y′
23、x=2=4+b=2，∴b=－2.
