南昌大学第六届高数竞赛(理工类)试题答案

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1、南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、单项选择题(每题3分，共15分)1、B.2、D.3、A.4、A.5、C.二、选择题(每空3分，共15分)1、1.2、.3、.4、8.5、.三、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值.对两边求导得，，令得，代入原方程解得.=32<0.故当时，取极大值.第6页共6页四、设，求,.=,=.五、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向.,,当时,当时,由格林公式知,.当时,,作足够小的椭圆曲线,从到.当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得，因此==第6页共6页

2、六、设函数在内具有连续的导数，且满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.=,两边对求导得，且，这是一个一阶线性微分方程，解得.七、设，求级数的和.令,则=...==,第6页共6页八、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，，恒有.令，则,==,于是.九、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求.两边对求偏导得,两边对求偏导得,，,=1.第6页共6页十、设，判别数列的敛散性.定义，令，则,当时，,=.,由可知收敛，从而收敛.十一、设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分

3、的方程为，,,.球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令所求曲面面积为,=.令得驻点,容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大.第6页共6页十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题.1.计算，其中曲线弧为：，.,(1),，(2)将(1)、(2)代入得==4.2.计算曲面积分，其中是曲面被平面所截出部分的上侧.记为平面上被园所围成的部分的下侧，为由与围成的空间闭区域.由高斯公式知===2.=3第6页共6页