2005年高数理工类竞赛试题答案

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1、考试时间：2005年6月11日(星期六)上午9：00—11：30华侨大学2005年高等数学竞赛试题(A卷)标准答案及评分标准各题的第N步得分＝题分×得分百分比一、填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1、，；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、.二、(本题满分7分)解：（法一）由交换积分顺序得………………………………………(50%)………………………………………(80%)………………………………………………………………(100%)（法二）……………………………………(30%)=………………………………………(80%)……………

2、……………………(100%)三、(本题满分12分)解：（1），故当时，在连续.………………………………（25%）（2）当时，，…………………………………（40%）第4页共4页,………………....（75%）（3）由于，故在处连续.……………………………………………………….（100%）四、(本题满分10分)解：；（40%）由，；又由，，解得，（80%）故.（100%）五、(本题满分10分)解：补平面，，方向向下，记，和所围成的立体为.则由高斯公式和三重积分的奇偶性有………………………(20%)……………………………(40%)…………………………

3、………………(70%)………………………………………………………………………(100%)第4页共4页六、(本题满分9分)解：从而收敛域为；（33%）设，则，所以所求的和函数为（90%）令，则＝＝.（100%）七、(本题满分8分)解:（法一）令，则化原式为………………………………（25%）……………………..（37.5%）……………………..（62.5%）又为偶函数，故所求极限为………..（75%）……….（100%）（法二）考虑左右极限八、(本题满分8分)证明：（法一）令，显然，由在有界闭区间上连续且满足知：且,…………………………（37.5%

4、）第4页共4页故，…………………..（62.5%）显然在有界闭区间上连续，故在上恒为零或变号，因此至少有一个零点，记为，那么由及，只需对分别在区间及上应用罗尔定理，即得所证.…………………………………（100%）（法二）由在有界闭区间上连续且满足知在上恒为零或变号，因此至少有一个零点，记为，若在上只有一个零点，则不妨假定在上恒负，在上恒正……..（50%）令，则在上恒成立且只有当时，故，……………………………………………..（75%）但由已知，矛盾.故在上至少有两个零点.……………………………….（100%）第4页共4页