多元函数微积分 (王宝富 钮海 著) 高等教育出版社 课后答案 第一章习题解答（下）

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1、习题1—1解答x11x11．设f(x,y)=xy+，求fyf(−x,−y),(,xy),f(xy,),yfy(x,)x1yx221y解f(−x,−y)=xy+；f(1,1)=+yxyxy2．设,)=lnln，证明：fx;f(xy,)=+xyy=;,)f(xy=2xy+xff(xyxy(xy,)uvfv(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,)v=(xy,uv)=ln(xy)⋅ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+ln)y⋅vlnx

2、⋅lnu+lnx⋅lnv+lny⋅lnu+lnln=fv(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f(x,y)12=−x+y22−1;（2）fy(x,)=−4xy2−−2;ln(1xy)x2y2z2（3）f(x,y)1=−−−;a2b2c2（4）fz(x,y,)=xy++z.−2221−x−yz解（1）D=（2）D=yx≤{(x,){xy1,2y≥1}22-1}y1O-1

3、1yxxy,)0<+<1,y≤4x1-11O-11x（3）D⎧yx2y2z2⎫=⎨(x,)++≤1⎬z（4）⎩{a2b2c2-b⎭x2a22cO1}-abyD=x,y,z)x≥0,y≥0,z≥0,xz+y+

4、y+4+10(2−=limxy+4)(2+xy+4)=−1x→0y→0xyx→0y→0xyxy(2+xy+4)4（4）limsin(xy)=limsin()x⋅=2x→2y→0yx→2y→0xy5．证明下列极限不存在：x+y22xy（1）lim;（2）lim22+−2−x→0xyx→0xy(xy)y→0y→0（1）证明如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0)则limx→0xy=→20x+yx−y=limx→0x+2xx−2x=−3

5、；x+y3y如果动点P(x,y)沿x=2y趋向(0,0)，则limy→0y→x=202x−y=limy→0y=3所以极限不存在。（2）证明：如果动点22P(x,y)沿y=x趋向(0,0)4则limx→0xy=→022xyxyxy+(−)2=limx→0xx4=1；22xy4x4如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0)，则lim22xyxy+(−2=lim42x+x=0所以极限不存在。6．指出下列函数的间断点：2x→0yx→=20)x→0

6、4（1）,)=f(xyy+2x−2；（2）z=ln−xy。yx解（1）为使函数表达式有意义，需y−2x≠0，所以在y−2x=0处，函数间断。（2）为使函数表达式有意义，需x≠y，所以在x=y处，函数间断。习题1—2x1．（1）z=+y∂z1=−yxy；∂z1=−x.∂xy∂zx2∂yxy2(2)∂x∂z∂y=ycos(xy)−2ycos(xy)sin(xy)=y[cos(xy)−sin(2xy)]=xcos(xy)−2xcos(xy)sin(xy)=x[c

7、os(xy)−sin(2xy)](3)∂z∂xy−1=y(1+xy)y=y2(1+xy)y−1,1∂zxlnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得∂zxyz∂y=ln(1++xy)yxy1+xy,∂y=z[ln(1+xy)+]=(1+1+xy2yxy)y[ln(1+xy)+1+xy];(4)∂z=1−x3=x3−2y,∂xy3+x+x2x(xy)3∂z∂y=1x2y=31;x+x2yx+yy

8、y∂u=yxz−1,∂u=1xzxln,∂u=−yxzlnx(5)∂xuz−)∂yzz−1∂zz2;(6)∂∂x=z(xy+−1(xy)2z,∂uy∂=−z(x−y+−)z−12z,1(xy)x−yzxy∂uz∂=()ln(xy+−1()−2z);zyzxzzz2.(1)x==,y=,xx=0,xy==1,yy=0;+zasin2(ax+byzbaxby(2)x),ysin2(