多元函数微积分 (王宝富 钮海 著) 高等教育出版社 课后答案 第二章习题解答（下）

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1、习题2-11、解：在任意一个面积微元dσ上的压力微元dF=ρgxdσ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力Fρσ=∫∫Dgxd2、解：在任意一个面积微元dσ上的电荷微元dF=µ(x,y)dσ，所以，该平面薄片的电荷总量Q=∫∫Dµ(x,y)dσ3、解：因为0≤x≤1,0≤y≤1，所以221x+y+≤x+y+1，又lnu为单调递增函数，所以ln(2xy21)≤ln(xy1)，由二重积分的保序性得++(2++2)σ()σ∫∫xlnxy++1d≤∫∫xlnx+y+1d0≤≤1y10≤≤

2、0≤≤1y10≤≤4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量2212−y22182834M=∫∫(x+y)dσD=∫0dy∫y(x+y)dx=∫0(3yy−+44−3y)dy=35、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以1ydyfydx11dxfydy∫0∫022y(x,)4=∫0∫xx(x,)（2）积分区域如图2-1-3所示，所以dyf(x,y)dx∫0∫y2dxf(x,y)dy=∫0∫x/2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以

3、2dx2x−x2fydy1dyy211−+fydx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以∫∫2−xelnx(x,))=∫0∫2−y1e)(x,)dxf(x,ydy=dyf(x,ydx∫∫006、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以∫0∫ey11x12(3/43)2⎛4x11/415⎞6∫∫xydσ=dxxydy=xx−xdx=−x⎟=D∫0∫x2∫032⎜3⎝114−y2521⎠055642σ222（2）积分区域如图2-1-7所示

4、，所以∫∫xyddy=∫∫xydx=2∫y−ydy=（3）积分区域如图2-1-8所示，所以01+x11−xD−20002(4)15x+yσx+x+yx1+x−−x1−xx−+∫∫eddxeydydxedyee1exdxee1edxD=∫−1∫−1−x+∫∫0−1+x=∫−1(−)+∫(−)02−11−12−1=∫eex−e)dx(+∫e−eex)dx=e−e(−10（4）积分区域如图2-1-9所示，所以2y2⎛193⎞1

5、322σ2232∫∫(Dx+y−x)d=dy∫0∫y/2(x+y−x)dx=∫0⎜⎝24y−8ydy⎟=⎠67、解：ππ（1）积分区域如图2-1-10所示，令x=rcosθ,y=rsinπaθ，所以−≤θ≤,0≤r≤a，22故f(x,y)dσ2dθrfr(cos,sin)∫∫D=∫−π2∫0⋅rdr（2）积分区域如图2-1-11所示，令x=rθy=rθ，所以θπrθ，故fydπdcos,2sinθrfsin0≤≤dr,0≤≤2sin8、

6、解：∫∫D(x,)σ=∫0θ∫0⋅(rcosθ,rsinθ)πsinθ（1）积分区域如图2-1-12所示，令1πθx=rcos,y=rsinsinθπθ，所以θ0≤≤4r,0≤≤π2cosθ，1x22−22−1[]4故dx(x+y∫0∫x2)dy=∫04dθ∫cosθr⋅rdr=∫4dθθθ=sectansecθ0=−210（2）积分区域如图2-1-13所示，令x=rθy=r0θ，所以θπrθ，22cos,πsin0≤

7、≤4πa,0≤≤2sin故∫ady∫−ay(x22+y)dx=∫2dθ∫a3rdr=000x20228x12399、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故∫∫dσ=∫xdx∫dy∫xxdx12=(−+)=Dy21xy1π4（2）积分区域如图2-1-15所示，令==，所以θ0≤≤r,0≤≤1，故22πxrcosθ,yrsin2θ22∫∫xy1−−22dσ=∫21dθ∫1−r2rdr⋅=π11−∫r

8、rdrDxy1++0π⎛101+rr12r301−r⎞4=2⎜⎜∫0⎝1−r4dr−∫01−r4dr⎟⎟⎠=π⎛⎜⎜11∫dr2+11∫d(1−r4)⎞⎟⎟2π⎝⎡⎢2011−r2414011−r1441⎠⎤⎥π(2)=2⎢2arcsinr0+2(1−r)2⎥