第12题 函数的周期性与对称性-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（解析版）

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1、第12题函数的周期性与对称性I．题源探究·黄金母题【例1】容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是?你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．【解析】由周期函数的性质知，T=2π所以对称中心为，正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知其对称轴方程纬．对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+)所以对

2、称中心为，余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知X=Kπ(K为整数)．正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kπ/2，0)(K为整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形．精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点．【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式

3、．【例2】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y＝f(x＋1)的图象；（3）你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周期，即【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一．【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题

4、思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．，故函数的周期T=2；（2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x＜0时，f（x）=-x，当0≤x＜1时，f（x）=x；当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x，当2

5、n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n，∴（n为整数）点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I卷】已知函数，则（）A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减C．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．【例2】【2017高考山东卷】【命题意图】本类题通常

6、主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时

7、应加强对这部分内容的训练．【难点中心】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当时，，则f(919)=．【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，是周期函数，且，所以．【例3】【2017江苏高考14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是▲．【答案】8【解析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设，且互质．若，则由，可设，且互质．因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此．因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每

8、个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用．分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知