专题10函数的周期性与对称性-2017原创之高中数学黄金100题系列（解析版）

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1、第10题函数的周期性与对称性例1设/(x)J1,1-X求证：⑴/(-X)=：/(兀)；(2)/(-)=-f(x).X【解析】(1)/(-兀):1+(-X)21+X2~l-(-x)2_1-x2•••/(-兀)=/(X)⑵/(-)=1-(丄尸Ft1+x21+x21-x2~x2-I.题源探究•黄金母题.•・/』)=-/(X)X例2容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正眩曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称屮心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是？你能用己学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对于弦函数和正切函数，讨论

2、上精彩解读【试题來源】人教版A版必修一第44页A组第8题【母题评析】本题以于(兀)=空为载体，考査函1-JT数奇偶性的证明、•复合函数的运算问题，此类问题是高考常考的题型之一。【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶性的判断问题常用的解题方法之一，使用时要注意赋值的合理性。精彩解读【.试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题述同样的问题。【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据,【解析】由周期函数的性质知，T二2兀所以对称屮心为(S0)("z),正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴,JT的性质知其対称轴方程纬x=-+k7C{kGZ

3、)。2对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA二sin(A+兰)2所以对称屮心为(-+^,0)伙WZ),余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知X二K3i(K为整数)然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点。【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kJi/2,0)(K方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。精彩解读整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形。例3已知函数y=f(x)的图彖如图所示,试回答•下列问题：【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第(1)求函数的

4、周期；3题(2)画出函数y=f(x+1)的图象;(3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗？【母题评析】本题以y=f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式(根据图像求解析式)问题，此类问题是高考常考的题型之一。考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法【解析】(1)从图象得知，x从0变化到1,函数经历:2个周期，即「1，故函数的周期T=2；2(2)函数y二f(x+1)的图象可由函数y二f(X)的图彖向左平移1个单位得到，因为函数y二f(x)的图象过点(0・,0)、点(1,1)所以y二f(x+1)的图象经过(-1,0)、点(0,1),再根据函数为周期函

5、数画出图象：(3)当TWxVO时，f(x)二-x,当OWx

6、当xo吋，y(x)=x3-i；当一lsxsi时，/(-X)=-/(x);当兀〉+时，厶/U4-1)=/(%-!).则A6)=()(A)-2(B)-1(C)0(D)2【答案】D【解析】当兀>丄时，/(x+

7、)=f(x一丄)，所以当222兀〉丄时，函数于(兀)是周期为1的周期函数，所以/(6)=/(I)，又函数/(x)是奇函数，所以/(I)=-/(-D=-[(-1)?-1]=2,故选D.【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化•本题能较好的考查

8、考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.【例2][2016高考新课标1卷】已知f(x)=sin(cox4-(p)(69><—),X—为/(兀)的零点,X=—为11244/兀、冗、y=/(x)图像的对称轴，且/(x)在(—，—)单调，则colo30的最大值为((A)117【答案】B)(B)9(D)5(C)【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称TT7T【解析】因为%=--为/(X)的零点,%=-为/(X)图像44的对称轴，所以#-(-#)=£+好，即£=兰二