第3讲 随机变量及其分布列学案

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1、第3讲　随机变量及其分布列【高考真题感悟】(2010·福建)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x

2、－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝

3、4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列为ξ0149P所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.考题分析　本题考查了基本事件的概念，考查了离散型随机变量的分布列及其数学期望的计算．考查考生综合应用数学知识解决问题的能力．易错提醒　(1)易忽略特例(0,0)这一基本事件．(2)搞不清ξ的所有可能值与m的所有可能值的关系．基本事件确定有误．(3)书写不规范，计算错误．主干知识梳理1．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B

4、A)＝.2．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P

5、n(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.4．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…为离散型随机变量ξ的分布列．(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．5．常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布分布列为(其中0

6、k)＝Cpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．显然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，Cpkqn－k＝1.称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．6．离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望．D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．7．正态分布(1)一般地，如果对任意实数a

7、X的分布为正态分布．(2)正态曲线的特点如图所示．①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值.④曲线与x轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ

8、击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？思维启迪(1)第(1)问先求其对立事件的概率．(2)第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式．(3)第(3)问中，甲恰好射击5次被中止，可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中，第3次击中，后两次未击中两种情况．解　(1)甲至少一次未击中目标的概率P1是

9、P1＝P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝1－P4(0)＝1－40＝.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2＝C22＝，乙射击4次恰击中3次的概率为P3＝C3×＝，由乘法公式，所求概率P＝P2P3＝×＝.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P＝32＋C23＝.探究提高(1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况