连续时间周期信号的傅里叶级数

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1、连续时间周期信号的傅里叶级数一、实验目的：3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。二、实验原理：（一）傅里叶级数（FS）展开周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS。其中三角形式的傅里叶级数为：x(t)?a02???[ak?1kcosk?1t?bksink?1t]?a02???[ak?1kcos2?T1kt?bksin2?T1kt](1)其中?1?a0，ak，和bk2?T1，称为信号的基本频率（Fundamentalfrequency），分别是信号x(t)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。其中：ak?2T1?t0?T1t0x(

2、t)cosk?1tdtbk?2T1?t0?T1t0x(t)sink?1tdt(2)连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为Ak?ak?bk22?k?arctanbkak(3)其中k与频率的关系为??k?1，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t)如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。（二）吉布斯（Gibbs）现象当利用

3、(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK(k)与FS的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)?WK(k)，因此实际FS展开式为x(t)?a02???[ak?1Kk?1kcosk?1t?bksink?1t]WK(k)cosk?1t?bksink?1t]a0??2?[ak(4)K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。截断引起信号失真，这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时，在跃变点的附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波

4、次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这种现象称为Gibbs现象，或称为震铃(ringing)效应。若在计算机上编程对周期函数x(t)进行FS展开，必须对函数x(t)作等间距抽样。若抽样周期为Ts，且令T1?NTs，则?为x(nTs)?x(t)t?nTs?k?1?k2?NTs，（1）式离散化?a02???[akcosk?12?Nnk?bksin2?Nnk](5)时间抽样后，（4）式离散化为x(n)?a02K??k?1[akcos2?Nnk?bksin2?Nnk](6)将上式与(4)式比较可见，实际的FS展开式x(n)与x(nTs)之间的误差为??(n,K)??k?K[

5、akcos2?Nnk?bksin2?Nnk](7)上式表明，实际展开后的误差是时间n（t=nTs）和截断频率K（?c?K?1）的函数。图3-1给出了一个方波信号展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生的Gibbs现象，而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。图3-1方波展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生Gibbs现象为了消除这种频域截断形成的Gibbs现象，通常不采用矩形窗作截断处理，而是采用汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗或三角窗等进行加权计算。1、以0点为中心的Hanning窗（也称为升余弦窗）定义为2?k?1)k?K/2?(

6、1?cosw(k)??2K?0otherwise?(8)2、以0点为中心的Hamming窗定义为2?k?k?K/2?0.54?0.46cosw(k)??K?0otherwise?(9)3、以0点为中心的三角窗（Bartlett窗）定义为?2kk?K/2?1?w(k)??K?0otherwise?(10)图3-2中列出了矩形窗、三角窗、Hanning窗和Hamming窗的图像，可以比较它们的差异和类同之处。w(k)w(k)-K/20K/2-K/20K/2(a)矩形窗(b)三角窗w(k)w(k)11-K/20K/2-K/20K/2(c)Hanning窗(d)Hammi

7、ng窗图3-2几种加权窗函数的比较例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。图3-3用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。三、实验内容：1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图

8、像。该方波