信号与系统实验_连续时间信号的傅里叶级数

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1、XXXXXXXX大学（计算机网络）实验报告实验名称连续时间信号的傅里叶级数实验时间年月日专业姓名学号预习操作座位号教师签名总评一、实验目的：1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。二、实验原理：（一）傅里叶级数（FS）展开周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS。其中三角形式的傅里叶级数为：(1)其中，称为信号的基本频率（Fundamentalfrequency），分别是信号的直流分量、余弦分量幅度和正弦分

2、量幅度。其中：(2)连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为(3)其中k与频率的关系为，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t)如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。（二）吉布斯（Gibbs）现象当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK(k

3、)与FS的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)×WK(k)，因此实际FS展开式为(4)K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。截断引起信号失真，这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时，在跃变点的附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这种现象称为Gibbs现象，或称为震铃(ringing)效应。若在计算机上编程对周期函数x(t)进行FS展开，必须对函数x(t)作等间距抽样。若抽样周期为Ts，且令，则，（1）式离散化为　　　(5)时间抽样后，（4）式离散化为(6)将上式与(4)式比

4、较可见，实际的FS展开式x(n)与x(nTs)之间的误差为　(7)上式表明，实际展开后的误差是时间n（t=nTs）和截断频率K（）的函数。图3-1给出了一个方波信号展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生的Gibbs现象，而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。图3-1方波展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生Gibbs现象为了消除这种频域截断形成的Gibbs现象，通常不采用矩形窗作截断处理，而是采用汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗或三角窗等进行加权计算。1、以0点为中心的Hanning窗（也称为升余弦窗）定义为　　　　　(8)2、以0点为中心的

5、Hamming窗定义为　　　　　(9)3、以0点为中心的三角窗（Bartlett窗）定义为　　　(10)图3-2中列出了矩形窗、三角窗、Hanning窗和Hamming窗的图像，可以比较它们的差异和类同之处。w(k)w(k)11-K/20K/2-K/20K/2(a)矩形窗(b)三角窗w(k)w(k)11-K/20K/2-K/20K/2(c)Hanning窗(d)Hamming窗　　　　　　　　　　　　　　图3-2几种加权窗函数的比较图3-3用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-

6、3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。三、实验内容：1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。该方波信号的周期为T1=1，振动幅度为A=1。抽样周期选为。提示：由于该信号是奇谐对称周期函数，展开式中将只有正弦函数的奇次谐波，即其中，系数bk由(2)式得　　　　　　　　　x(t)1-

7、2-1012t图3-4奇谐方波采用Hanning窗加权，则展开式变为程序如下：运行结果如下：2、将图3-5中的锯齿波展开为Fourier级数，按(2)式求出Fourier级数的系数，并在频域分别采用矩形窗、Hanning窗和三角窗加权，观察其Gibbs效应及其消除情况。x(t)1-3-2-10123t图3-5锯齿波程序如下：运行结果如下：3、选做：编程计算连续时间周期信号的三角形式傅里叶级数展开的系数。