概率论与数理统计课后习题答案-修订版-复旦大学

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1、概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC(5)ABC=A∪B∪C(6)ABC(7)ABC∪AB

2、C∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A−B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1−P（AB）=1−[P(A)−P(A−B)]=1−[0.7−0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=

3、Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.1 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)=11113=++−4431247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？p=C513C313C313C/C2131352【解】8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生

4、日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为7，有利事件仅1个，故5117P（A1）=5=（）5（亦可用独立性求解，下同）7（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为6，故56567P（A2）=5=()57(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}1P（A3）=1−P(A1)=1−()579.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

5、≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=CCmMn−mN−M/CnN(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PNn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正mn品中取m件的排列数有PMm种，从N−M件次品中取n−m件的排列数为Pn−m种，N−M故CmnPmMPn−mN−MP（A）=PNn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成CmMCn−mN−MP（A）=

6、CnN可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n2 次抽取中有m次为正品的组合数为C种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，mnm次取得正品，都有M种取法，共有M种取法，n−m次取得次品，每次都有mN−M种取法，共有（N−M）n−m种取法，故P(A)=CnMmm(N−M)n−m/NnMN此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为，则取得mn−m⎛M⎞⎛1−M⎞P(A)=Cnm⎜⎟⎜⎟N⎠⎝N⎠⎝11.略.见教材习题参考答案.12

7、.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}1P(A)=C110C33/C350=196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.P(A2)=C24C13=18,P(A3)=C3437=4C3735C352235故P(A2∪

8、A3)=P(A2)+P(A3)=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1)P(A1