第二章 测量误差的规律性及其表述

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1、第二章测量误差的规律性及其表述测量误差按其性质可分为随机误差(偶然误差)、系统误差和粗大误差。粗大误差是偶然出现的过大的误差，含有粗大误差的数据是不正常的，应该舍弃。正常的测量数据只含随机误差与系统误差。本章以概率论为基础，分别讨论随机误差和系统误差的特征规律及其表述方法。本章内容是数据处理和不确定度估计的基础。2.1随机误差统计规律的表述随机误差(偶然误差)为随机变量。我们以概率论与数理统计的理论与方法为基础，研究它的统计规律性(即其分布特征)。随机误差统计规律的完整描述用分布函数或分布密度，而对其局部特征的表征，则采用相应的特征参数(数字特征)。一、随机误差的分布函数和分

2、布密度测量数据中总是包含一定的随机误差。因此，诸测量结果的数值大小各不相同，且不遵从确定的规律性。某个具体测量值的出现完全是随机的(或称为偶然的)，在没有完成测量之前，不能预先确定这一测量结果的数值。掌握了随机误差的上述特点后，就不难对它的存在作出判别。例如，打靶时弹着点偏离靶心的一段距离是射击误差(如图2-1)。十分明显，弹着点呈分散状态，各次射击误差的大小和方向各不相同，不具有确定的规律性。在未完成射击之前，任何人都无法预言其弹着点的准确位置，即射击误差表现出明显的随机性，这是射击中随机因素作用的结果。在用仪器对某量进行多次测量时，我们会发现测得的结果各不相同，它们分布在

3、某一范围内。测量之前，我们无法预先给出它的准确数值，因而测量数据具有随机性，这是测量过程中随机因素造成的。上述事实表明，随机误差不具有确定的规律性，即随机误差不能用确定的解析式或其他方法预计它的数值。但随机误差却遵从统计规律，这是不同于确定性规律的另一类规律。这一统计规律支配着所有的测量结果，但就单个测量结果而言，还难以看出它遵从的统计规律。只有给出多次测量结果，这一统计规律才能显示出来，并且测量结果越多，表现出的统计规律越明显，这种多次测量就是统计实验。例如(图2-1)打靶的例子中，进行一次射击时，不能从弹着点的位置看出射击误差的统计规律，但当进行多次射击后，可由弹着点的分

4、散状况判断出射击误差的分布规律，而且射击次数越多这一规律表现得越明显。随机变量的统计规律已在概率论中作了详细论述。作为随机变量，随机误差δ的统计规律可由分布函数F(δ)或分布密度f(δ)给出完整的表述。按分布函数定义，随机变量x的分布函数为式中，是作为随机变量的随机误差取值小于δ的概率。若随机误差取值在数轴上，表示随机误差落在δ点左面的概率（如图2－2）。当δ点右移(即δ增大)时这一概率增大；当δ点移向无穷远处时这一概率为1，即反之，当δ点向左移（即δ减小）时，这一概率减小；当δ点左移至无穷远处时，这一概率为0，即可见，分布函数是非负函数（即其取值为正数或零），也是非降函数（

5、随δ的增大分布函数不会减小）。利用分布函数可以给出随机误差落入任意区间上的概率，这对随机误差分布的理论分析与实际计算十分有用。例2－1求误差δ取值在下列区间的概率（1）（2）解：（1）（2）按分布密度的定义，随机误差的分布密度是分布函数F(δ)的导数(设F(δ)连续)(2—2)而分布函数为分布密度的积分(2—3)由于分布函数F(δ)是非降函数，因此分布密度函数是非负的，即因为，所以分布密度从到的积分等于1，即(2-4)这一积分是整个分布密度曲线下的面积，代表测量误差全部取值的概率。而在任意区间[a，b]内的概率则为(2—5)这一概率是区间[a，b]上分布密度曲线下的面积。分布

6、函数或分布密度给出了随机误差占取值的概率分布，这是对随机误差统计特征的完整描述，是十分有用的。二、随机误差的表征参数在一般的测量数据处理中，并不需要给出随机误差详细的概率分布，无须给出随机误差的分布密度或分布函数。通常只须给出一个或几个特征参数即可对随机误差的影响作出评定。根据概率论，作为随机变量，随机误差的数字特征给出了它的基本特征。在一般的数据处理中，随机误差的数字特征主要使用数学期望和方差(或用标准差б)。实际应用中还常使用其他一些参数。1．数学期望按数学期望的定义，随机误差δ的数学期望为(2—6)式中，为δ的分布密度函数。数学期望是误差δ的分布中心，它反映了δ的平均特

7、征，或者说数学期望是δ所有可能取值的平均值(当然这只是一种抽象，实际上不可能找出δ的所有可能的取值)。数学期望有如下重要性质：(1)常数C的数学期望为E(C)=C；(2)随机误差δ乘以常数C，则有(3)随机误差之和的数学期望为(4)相互独立的随机误差与之积的数学期望为2．方差和标准差按定义，随机误差δ的方差为(2—7)通常，随机误差的数学期望＝0，因而有(2-8)实用上更常使用标准差(或均方差)。按照定义，标准差应为方差的正平方根，即(2-9)应注意，标准差没有负值。显然，标准差与方差具有相同的作用，其