高等数学竞赛试题1答案

《高等数学竞赛试题1答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高等数学竞赛试题1一、填空：1．若是上的连续函数，则a=－1。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．曲线（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐

2、近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。２７5．设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（B）（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。解：由题设可推知f(0)=0，，于是有。故。四、设函数由参数方程所确定，求。解：由，，得到，所以。而当x=9时，由及t>1，得t=2，故。五、设n为自然数，计算积分。解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，

3、于是有２７，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇函数，所以。命：则在x=0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：当x>0，则－x<0，；当x<0，则－x>0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又，即，所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。解：设：，则２７类似可得，代入原式左边，得到八、

4、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有于是有。九、计算，其中L为正向一周。解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；２７当时，；当时，，故D的面积为2×1=2。从而。十、⑴证明：当充分小时，不等式成立。⑵设，求。证明：⑴因为，又注意到当充分小时，，所以成立不等式。⑵由⑴知，当n充分大时有，，故，而，于是，由夹逼定理知。十一、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。２７命：，则。当x=2时，，x=

5、2为唯一驻点。又，，所以x=2为的唯一极小值点，故为的最小值(x>0)，即当x>0时，从而严格单调递增。又因，所以当；当。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：记。在球坐标下计算，得到若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则。高等数学竞赛试题2答案一、选择题1.下列命题中正确的命题有几个？……………

6、……………………………………………（A）（1）无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.2.设，则是间断点的函数是…………………………（B）２７(A)；(B)；(C)；(D)..3.设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则…………（C）(A)1；(B)；(C)；(D).4.设连续，当时，与为等价无穷小，令，,则当时，的……………………………………（D）(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.5.设在

7、点的某邻域内连续，且满足则在点处……………………………………………………………………………………………（A）(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能确定是否有极值.6.设在连续，且导函数的图形如图所示，则有………………（D）(A)1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B)2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C)2个极小值点与2个极大值点,无拐点；(D)2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7.设有连续的一阶导数，则……………………………（B）(A)