函数的傅里叶展开

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1、函数的傅里叶展开一、内容精要（一）基本概念1.函数的傅里叶展开标准区间上的三角函数系：具正交性。即成立：不同两个函数乘积在上的积分为零，而自身平方在上的积分不为零.（二）重要定理与公式定理7.12（狄利克雷（Dirichlet）定理）如果是以为周期的周期函数，而且在上分段光滑，那么的Fourier级数在任意点x处都收敛，并且收敛于在该点左、右极限的平均值，即其中1．将周期且知道一个周期区间上表达式展成傅氏级数的步骤：（1）确定的周期；（2）计算称为的傅里叶系数，若为偶函数，由为奇函数，则若为奇函数，知为奇函数，则；（3）写出的傅里叶级数，（4）·2

2、97·特别在，傅氏级数和为注：s(x)是周期函数，周期.2．将定义上的函数展成傅里叶级数的步骤：（1）计算,同样，若为奇函数知若为偶函数，知（2）傅氏级数在处，傅氏级数的和为=注：1.傅氏级数在某点收敛，与在该点是否有定义没关系.2.s(x)是周期函数，周期.当时，，则==，=.3．将定义在上的函数展成正弦级数的步骤：（1）计算而（2）正弦级数==0.注：s(x)是奇函数、周期函数，周期当时，有，==当时，，则=.4．将定义在上的函数展成余弦级数的步骤：·297·（1）计算而（2）余弦级数==注：s(x)是偶函数、周期函数，周期当时，有，==当时，

3、，则=.二、考题类型、解题策略及典型例题类型1.1函数展成傅里叶级数解题策略函数展成傅里叶级数的方法比较规范，技巧不大。可按内容提要中函数展成傅里叶级数的步骤去做，关健在于计算，要利用定积分，很多情况下要利用分部积分，需要仔细，在计算之前，考察是奇函数，则是偶函数，则，以简化计算.例11.1函数试求（1）在上的正弦级数；（2）在上的余弦级数；（3）在上以为周期的傅里叶级数.解（1）由在上展成正弦级数，有因此，上展开的正弦级数为·297·（2）由在上展成余弦级数，则因此，在上的余弦展开式为（3）由因此在上的傅叶里级数是这个例子告诉我，可以根据不同的需

4、要，把一函数采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级数形式，以便有利于解决问题。例11.2证明等式，并由此求数项级数的和。证只要把上展成余弦级数，由是偶函数，则由在上连续，且，得所以在上述等式中令得·297·由是正项收敛级数，例11.3设，其中分析由余弦级数为偶函数，为周期函数，周期T=2，利用这些性质把转化到（0，1）上的函数值，从而与联系上。解·297·